Deux contributions en systèmes dynamiques et feuilletages

Deux thèmes très différents sont abordés dans cette thèse : l étude des feuilletages d une part, et d autre part les fonctions d énergie pour des systèmes Morse-Smale. Dans la première partie, on explicite le lien entre les modèles transverses (groupoïdes de germes) et globaux (groupoïdes de feuilletage) de l holonomie des feuilletages. On définit pour une large classe de groupoïdes topologiques une notion Morita-invariante de génération compacte, généralisant la définition d André Haefliger dans le cas des germes d holonomie, et facilement identifiable sur les groupoïdes de feuilletage globaux. Dans la deuxième partie, on explique comment, par une méthode de suspension, on peut échanger les valeurs critiques d une fonction de Morse-Liapounov pour un système Morse-Smale discret, si celle-ci est suffisamment non dégénérée. Cette méthode fait appel à deux choses : une méthode de réordonnement de valeurs critiques adaptée au caractère Liapounov, appelée cisaillement, et une compréhension très précise du comportement local d une fonction de Bott-Liapounov au voisinage d une orbite périodique de champ Morse-Smale.Two different topics are encountered in this PhD thesis : on the one hand, the study of foliations using groupoids, and on the other, energy functions for Morse-Smale systems. In the first part, the links between transverse and global models for the holonomy of a foliation (respectively germs and foliation groupoids) are explicited. A notion of compact generation is defined for a large class of topological groupoids, which extends Andr e Haefliger s definition for transverse holonomy in a Morita-invariant way. This new definition is better fitted for global foliation groupoids. In the second part, we explain how to reorder the critical values of a Morse-Lyapunov function for a discrete Morse-Smale system; whenever it is sufficiently non-degenerate. The described method uses the suspension of the system, on which is used an adapted version of a general Lyapunov reordering method, called shearing. This adapted version involves a precise control of the behaviour of a Bott-Lyapunov function near a periodic orbit of a Morse-Smale field.NANTES-BU Sciences (441092104) / SudocSudocFranceF