Modular equations for some $\eta$-products

version finaleInternational audienceThe classical modular equations involve bivariate polynomials that can be seen to be univariate with coefficients in the modular invariant $j$. Kiepert found modular equations relating some $\eta$-quotients and the Weber functions $\gamma_2$ and $\gamma_3$. In the present work, we extend this idea to double $\eta$-quotients and characterize all the parameters leading to this kind of equation. We give some properties of these equations, explain how to compute them and give numerical examples.Les équations modulaires classiques sont des polynômes bivariés que l'on peut voir comme des polynômes univariés dont les coefficients sont des polynômes en l'invariant modulaire $j$. Kiepert a trouvé des équations modulaires reliant certains quotients de fonctions $\eta$ et les fonctions de Weber $\gamma_2$ et $\gamma_3$. Dans ce travail, nous étendons cette idée aux quotients doubles de fonctions $\eta$ et nous fournissons tous les paramètres donnant ce type d'équation. Nous en donnons les propriétés, expliquons comment les calculer et ajoutons des exemples numériques