Sparse Signal Processing and Applicaions

Whatever the field of application, optimizing the results and sometimes even solving problems requires taking advantage of the whole prior information. In this context, sparsity has emerged as a fundamental prior in recent years. A signal is said to be sparse in a certain basis if it can be described by a few small number of non-zero coefficients in that basis. The purpose of this thesis is to study new contributions of sparsity to signal processing. Two fields of application are considered. In addition to using sparsity, these two fields have in common the resolution of underdetermined inverse problems. The first one concerns the source separation problem. In this field, the sparsity leads to the development of several source separation methods. The performance of these sparseness-based methods relies on parameters that are usually chosen empirically. In this thesis, we propose a statistical formalism which reduces the number of parameters, while maintaining the source separation performance. The second field of application is the compressed sensing of finite alphabet signals. Such sensing seeks to reduce the number of measurements to be taken from finite alphabet signals while still keeping enough information to reconstruct them. We formulate this problem as a recovery of sparse signals from highly incomplete measurements. Therefore, this thesis is an exploration of emerging issues where integration of sparsity leads to good performance.Quel que soit le domaine d'application, il est nécessaire de tirer profit de toute l'information a priori dans le but d'optimiser les résultats ou parfois même de manière à rendre un problème soluble. Dans ce contexte, la notion de parcimonie a émergé comme un a priori fondamental ces dernières années. On dit qu'un signal est parcimonieux dans une base s'il peut être décrit par un faible nombre de coefficients non nuls dans cette base. L'objet de cette thèse est l'étude de nouveaux apports de l'hypothèse de parcimonie au traitement du signal. Deux domaines d'applications sont considérés. Outre l'utilisation de la parcimonie, ces deux domaines ont en commun la résolution de problèmes inverses sous-déterminés. Le premier concerne la séparation de sources. Dans ce domaine, la parcimonie a conduit au développement de différentes méthodes de séparation de sources. Les performances de ces méthodes sont sensibles au choix de certains paramètres, habituellement choisis de manière empirique. Dans cette thèse, on propose un formalisme statistique qui permet de réduire le nombre de ces paramètres, tout en préservant la qualité de la séparation. Le second domaine d'application étudié est l'acquisition compressée des signaux à alphabet fini. Une telle acquisition compressée permet de réduire la dimension des signaux à alphabet fini, tout en gardant l'information nécessaire à leur reconstruction. Une formalisation du problème permet de le relier à celui de la reconstruction des signaux parcimonieux à partir de mesures incomplètes. Cette thèse est donc une exploration de nouvelles problématiques où l'intégration de la parcimonie conduit à de bonnes performances