Analyse des structures spatiales et spectrales des fonctions propres dans les modèles d’Anderson via la théorie du paysage de localisation

In a disordered or random solid, the wave functions of electronic states can depart from the extended Bloch states and on the contrary be instead exponentially localized in space. This dramatic change of the spatial structure of the wave functions has a strong influence on the transport properties of the system, and for instance, can be responsible for the metal/insulator transition in disordered alloys. In the recent years, a new theoretical tool called the emph{localization landscape} has emerged to study this disorder-induced localization. In this thesis, we use the localization landscape theory to study various aspects of wave localization. First, we show how to extract efficiently the spatial structure of wave localization in any dimension by adapting the so-called emph{watershed} algorithm. Turning to the spectral properties, we compute the distribution of eigenvalues (the integrated density of states) in tight-binding Anderson models using new approximations derived from the localization landscape. We then investigate how the localization landscape can shed a new light on the existence of a dimension-dependent mobility edge at higher energy. Finally, we take a case study of a deterministic potential mimicking disorder, the Aubry-André model, and explore which information on the system can be deduced from the localization landscape formalism.Dans un solide désordonné ou aléatoire, les fonctions d'onde des états électroniques peuvent s'écarter des états de Bloch étendus et au contraire, être localisées de manière exponentielle dans l'espace. Ce changement radical de la structure spatiale des fonctions d'onde a une forte influence sur les propriétés de transport du système et peut, par exemple, être responsable de la transition métal/isolant dans les alliages désordonnés. Dans les années récentes, un nouvel outil théorique appelé le emph {paysage de localisation} a émergé pour l'étude de cette localisation induite par le désordre. Dans cette thèse, nous utilisons la théorie du paysage de localisation afin d'étudier divers aspects de la localisation des ondes. Tout d'abord, nous montrons comment extraire efficacement la structure spatiale de localisation à n'importe quelle dimension en adaptant l'algorithme dit de emph{watershed}. Puis nous passons à l'analyse des propriétés spectrales et calculons la distribution des valeurs propres (la densité intégrée des états) dans des modèles d'Anderson en emph{tight-binding} en utilisant de nouvelles approximations dérivées du paysage de localisation. Nous étudions ensuite comment le paysage de localisation permet de comprendre l'existence d'un seuil de mobilité à plus haute énergie, en fonction de la dimension. Enfin, nous nous intéressons à un potentiel déterministe de désordre, le modèle d'Aubry-André, et explorons quelles informations sur le système peuvent être déduites du formalisme de localisation du paysage