Etude asymptotique et simulation numérique de la propagation Laser en milieu inhomogène

To simulate the propagation of a monochromatic laser beam in a medium, we use the paraxial approximation of the Klein-Gordon (in the time-varying problem) and of the Maxwell (in the non time-depending case) equations. In a first part, we make an asymptotic analysis of the Klein-Gordon equation.We obtain approximated problems, either of Schrödinger or of transport-Schrödinger type. We prove existence and unicity of a solution for these problems, and estimate the difference between it and the exact solution of the Klein-Gordon equation. In a second part, we study the boundary problem for the advection Schrödinger equation, and show what the boundary condition must be in order that the problem on our domain be the restriction of the problem in the whole space: such a condition is called a transparent or an absorbing boundary condition.In a third part, we use the preceding results to build a numerical resolution method, for which we prove stability and show some simulations.Pour simuler la propagation laser, nous utilisons l'approximation paraxiale de l'équation de Klein-Gordon.Dans une première partie, nous menons une analyse asymptotique de l'équation de Klein-Gordon. Nous obtenons dans divers cas des problèmes approchés de type Schrödinger ou advection-Schrödinger. Nous montrons que ces problèmes sont bien posés et estimons la différence entre problème exact et problème approché.Dans une deuxième partie, nous étudions le problème d'advection-Schrödinger sur un domaine borné et non plus sur tout l'espace, et montrons quelle condition au bord il faut imposer pour que la solution de notre problème sur le domaine soit la restriction de la solution sur l'espace entier.Dans une troisième partie, nous utilisons les résultats précédents pour construire une méthode de résolution numérique, et présentons les simulations obtenues