Identification of the relaxation spectrum of viscoelastic materials under strong noise measurement data. Part II. Identification algorithm as FIR filter

W pracy rozważa się problem wyznaczania spektrum relaksacji materiałów liniowo lepkosprężystych na podstawie dyskretnych pomiarów modułu relaksacji zgromadzonych w teście relaksacji naprężeń. Celem pracy jest analiza odporności algorytmów optymalnej aproksymacji spektrum relaksacji skończonymi szeregami funkcji bazowych na silne addytywne zakłócenia pomiarów modułu relaksacji. W pierwszej części pracy wyznaczono spektra relaksacji próbek rzeczywistego materiału biologicznego (buraka cukrowego odmiany Janus) na podstawie oryginalnych, silnie zakłóconych, pomiarów modułu relaksacji oraz danych poddanych filtracji. Zastosowanie wstępnej filtracji danych pomiarowych nie wpłynęło istotnie na wynik identyfikacji. W tej pracy pokazano, że badane algorytmy identyfikacji traktowane jako liniowe systemy dyskretne posiadają własności filtru dolnoprzepustowego. Zapewnia to ich odporność nawet na silne szybkozmienne deterministyczne zakłócenia pomiarowe. Podano widma amplitudowe algorytmów Laguerre'a i Legendre'a. Odporność algorytmów na zakłócenia pomiarów modułu relaksacji potwierdza analiza algebraiczna oparta o rozkład SVD macierzy.The paper deals with the problem of continuous relaxation spectrum of linear viscoelastic materials identification based on discrete-time noise corrupted observations of relaxation modulus obtained in stress relaxation test. A class of relaxation spectrum models given by finite serious of some special functions (Laguerre, Legendre, Hermite, Chebyshev) is considered. Noise robustness issues of the optimal regularized least-squares approximation of relaxation spectrum are studied. The frequency domain analysis is combined with the algebraic analysis. In result the upper and lower estimates of the amplitude spectrum of the scheme in terms of the smallest and largest eigenvalues of some symmetric nonnegative definite Toeplitz matrix are derived. Then the estimations of the stopband and passband are obtained. By studying the amplitude spectra and model error it is shown how the choice of the regularization parameter and the model basis functions as well as the measurement points will affect the resulting relaxation spectrum estimate in the case of strong additive noises. It is also proved, in particular, that the accuracy of the spectrum approximation depends linearly on measurement noises. The Laguerre and Legendre amplitude spectra are given