Représentations génériques des groupes linéaires : catégories de foncteurs en grassmanniennes, avec applications à la conjecture artinienne

The aim of this work is to study the global structure of the category F of functors between F_2-vector spaces, particularly the artinian conjecture, which is equivalent to the locally noetherian character of F. We show that the tensor product between a finite functor and two copies of the standard projective functor F is noetherian. For this, we introduce new categories, the grassmannian functor categories. They permit to formulate a very strong form of the artinian conjecture, describing the Krull filtration of F. Our generalized simplicity theorem allows to show the above result about the structure or P tensor 2 tensor F (with F finite), that we have also proved using internal hom functors and considerations from modular representation theory. We describe the rich algebraic structure of the grassmannian functor categories, equivalent to comodules categories in F. Our main cohomological vanishing theorem generalizes a lot of known results in functor cohomology. It permits also to generalize a key step in Suslin's proof of the isomorphism between stable K-theory and Mac Lane homology for polynomial coefficients.Le but de ce travail est d'étudier la structure globale de la catégorie de foncteurs F entre espaces vectoriels sur F_2, notamment la conjecture artinienne, qui équivaut au caractère localement noethérien de cette catégorie. Nous démontrons que le produit tensoriel entre un foncteur fini et le foncteur projectif standard P tenseur 2 est noethérien. Nous introduisons à cet effet d'autres catégories de foncteurs, nommées catégories de foncteurs en grassmanniennes. Elles permettent d'énoncer une forme très forte de la conjecture artinienne, décrivant la filtration de Krull de la catégorie F. Notre théorème de simplicité généralisé établi une version faible de cette conjecture. Il permet de démontrer le résultat précédent sur la structure de P tenseur 2 tenseur F (avec F fini), que nous avons également obtenu par l'usage conjoint de foncteurs hom internes et de considérations issues de la théorie des représentations modulaires. Nous décrivons la riche structure algébrique des catégories de foncteurs en grassmanniennes, équivalentes à des catégories de comodules dans F. Notre théorème d'annulation cohomologique fondamental généralise un grand nombre de résultats antérieurs en cohomologie des foncteurs. Il permet également de généraliser une étape essentielle de la démonstration de Suslin de l'isomorphisme entre K-théorie stable et homologie de Mac Lane pour des systèmes de coefficients polynomiaux