Finitude homologique des foncteurs sur une catégorie additive et applications

International audienceWe give sufficient conditions which ensure that a functor of finite length from an additive category to finite-dimensional vector spaces has a projective resolution whose terms are finitely generated. For polynomial functors, we study also a weaker homological finiteness property, which applies to twisted homological stability for matrix monoids. This is inspired by works by Schwartz and Betley-Pirashvili, which are generalised; this also uses decompositions à la Steinberg over an additive category that we recently got with Vespa. We show also, as an application, a finiteness property for stable homology of linear groups on suitable rings.Nous donnons des conditions suffisantes pour qu'un foncteur de longueur finie d'une catégorie additive vers des espaces vectoriels de dimensions finies possède une résolution projective dont les termes sont de type fini. Pour les foncteurs polynomiaux, nous étudions également une propriété de finitude homologique plus faible, qui s'applique à la stabilité homologique à coefficients tordus des monoïdes de matrices. Ces résultats s'inspirent de travaux de Schwartz et Betley-Pirashvili, qu'ils généralisent, et utilisent les théorèmes de décomposition à la Steinberg que nous avons récemment obtenus avec Vespa. Nous montrons également, en guise d'application, une propriété de finitude pour l'homologie stable de groupes linéaires sur des anneaux appropriés