Analytic structures for the index theory of SL(3,C)

If G is a connected Lie group, the Kasparov representation ring KK^G(C,C) contains a singularly important element---the gamma-element---which is an idempotent relating the Kasparov representation ring of G with the representation ring of its maximal compact subgroup K. In the proofs of the Baum-Connes conjecture with coefficients for the groups G=SO(n,1) [Kasparov] and G=SU(n,1) [Julg-Kasparov], a key component is an explicit construction of the gamma-element as an element of G-equivariant K-homology for the space G/B, where B is the Borel subgroup of G. In this thesis, we describe some analytical constructions which may be useful for such a construction of $\gamma$ for the rank-two Lie group G=SL(3,C). The inspiration is the Bernstein-Gel'fand-Gel'fand complex---a natural differential complex of homogeneous bundles over G/B. The reasons for considering this complex are explained in detail. For G=SL(3,C), the space G/B admits two canonical fibrations, which play a recurring role in the analysis to follow. The local geometry of G/B can be modeled on the geometry of the three-dimensional complex Heisenberg group H in a very strong way. Consequently, we study the algebra of differential operators on H. We define a two-parameter family H^(m,n)(H) of Sobolev-like spaces, using the two fibrations of G/B. We introduce fibrewise Laplacian operators $\Delta_X$ and $\Delta_Y$ on $H$. We show that these operators satisfy a kind of directional ellipticity in terms of the spaces H^(m,n)(H) for certain values of (m,n), but also provide a counterexample to this property for another choice of (m,n). This counterexample is a significant obstacle to a pseudodifferential approach to the gamma-element for SL(3,C). Instead we turn to the harmonic analysis of the compact subgroup K=SU(3). Here, using the simultaneous spectral theory of the K-invariant fibrewise Laplacians on G/B, we construct a C*-category $\mathcal{A}$ and ideals $\mathcal{K}_X$ and $\mathcal{K}_Y$ related to the canonical fibrations. We explain why these are likely natural homes for the operators which would appear in a construction of the gamma-element.Si G est un groupe de Lie connexe, l'anneau de représentations de Kasparov, KK^G(C,C) contient un élément particulièrement important---l'élément gamma---qui établit un lien entre l'anneau de représentations de Kasparov de G et l'anneau de représentations de son sous-groupe compacte maximal K. Dans les preuves de la conjecture de Baum-Connes avec coefficients pour les groupes G=SO(n,1) [Kasparov] et G=SU(n,1) [Julg-Kasparov], une partie fondamentale est la construction explicite de l'élément gamma comme élément de la K-homologie G-équivariante pour l'espace G/B, où B est le sous-groupe de Borel de G. Dans cette thèse, nous décrirons des constructions analytique qui peuvent être utiles pour telle construction de gamma pour le groupe de Lie de rang deux G=SL(3,C). L'inspiration est le complexe de Bernstein-Gel'fand-Gel'fand---un complexe différentiel naturel de fibrés homogènes sur G/B. Les raisons de considérer ce complexe sont expliquées en détails. Pour G=SL(3,C), l'espace G/B admet deux fibrations canoniques, qui réapparaît souvent dans l'analyse suivante. La géométrie locale de G/B se comporte comme la géométrie du groupe de Heisenberg en dimension trois, noté H. Donc, nous étudions l'algèbre d'opérateurs différentiels sur H. Nous définissons une famille à deux paramètres d'espaces de Sobolev H^(m,n)(H), en utilisant les deux fibrations de G/B. Nous introduisons les opérateurs laplaciens longitudinaux $\Delta_X$ et $\Delta_Y$. Nous montrons que ces opérateurs satisfont une condition d'ellipticité longitudinal par rapport aux espaces H^(m,n)(H) pour quelques valeurs (m,n), mais par contre nous donnons un contre-exemple à cette propriété pour un autre choix de (m,n). Ce contre-exemple est un obstacle de taille pour une approche pseudodifférentielle à l'element gamma de SL(3,C). Au lieu de cela, nous considérons l'analyse harmonique du sous-groupe compacte K=SU(3). En utilisant la théorie spectrale des opérateurs laplaciens longitudinaux K-invariants sur G/B, nous construisons une C*-catégorie $\mathcal{A}$ et des idéaux $\mathcal{K}_X$ et $\mathcal{K}_Y$ liés aux fibrations canoniques. Nous expliquons pourquoi celles-là sont les structures prometteuses pour la construction de l'élément gamma