Fonctions de Lyapunov et approximations d'ensemble pour les systèmes contraints utilisant la programmation semi-définie

National audienceThis thesis deals with analysis of constrained dynamical systems, supported by some numerical methods. The systems that we consider can be broadly seen as a class of nonsmooth systems, where the state trajectory is constrained to evolve within a prespecified (and possibly time-varying) set. The possible discontinuities in these systems arise due to sudden change in the vector field at the boundary of the constraint set. The general framework that we adopt has been linked to different classes of nonsmooth systems in the literature, and it can be described by an interconnection of an ordinary differential equation with a static relation (such as variational inequality, or a normal cone inclusion, or complementarity relations). Such systems have found applications in modeling of several engineering and physical systems, and the results of this dissertation make some contributions to the analysis and numerical methods being developed for such system class.The first problem that we consider is related to the stability of an equilibrium point for the aforementioned class of nonsmooth systems. We provide appropriate definitions for stability of an equilibrium, and the Lyapunov functions, which take into consideration the presence of constraints in the system. In the presence of conic constraints, it seems natural to work with cone-copositive Lyapunov functions. To confirm this intuition, and as the first main result, we prove that, for a certain class of cone-constrained systems with an exponentially stable equilibrium, there always exists a smooth cone-copositive Lyapunov function. Putting some more structure on the system vector field, such as homogeneity, we can show that the aforementioned functions can be approximated by a rational function of cone-copositive homogeneous polynomials.This later class of functions is seen to be particularly amenable for numerical computation as we provide two types of algorithms precisely for that purpose. These algorithms consist of a hierarchy of either linear or semidefinite optimization problems for computing the desired cone-copositive Lyapunov function. For conic constraints, we provide a discretization algorithm based on simplicial partitioning of a simplex, so that the search of desired function is addressed by constructing a hierarchy (associated with the diameter of the cells in the partition) of linear programs. Our second algorithm is tailored to semi-algebraic sets, where a hierarchy of semidefinite programs is constructed to compute Lyapunov functions as a sum-of-squares. Some polynomials examples are given to illustrate our approach.Continuing with our study of state-constrained systems, we next consider the time evolution of a probability measure which describes the distribution of the state over a set. In contrast with smooth ordinary differential equations, where the evolution of this probability measure is described by the Liouville equation, the flow map associated with the nonsmooth differential inclusion is not necessarily invertible and one cannot directly derive a continuity equation to describe the evolution of the distribution of states. Instead, we consider Lipschitz approximation of our original nonsmooth system and construct a sequence of measures obtained from Liouville equations corresponding to these approximations. This sequence of measures converges in weak-star topology to the measure describing the evolution of the distribution of states for the original nonsmooth system. This allows us to approximate numerically the evolution of moments (up to some finite order) for our original nonsmooth system, using a hierarchy of semidefinite programs. Using similar methodology, we study approximation of the support of the solution (described by a measure at each time) using polynomial approximations.Cette thèse traite de l'analyse de systèmes dynamiques avec contraintes, avec certaines méthodes numériques. Les systèmes que nous considérons peuvent être considérés comme une classe de systèmes non lisses, où la trajectoire d'état est contrainte d'évoluer dans un ensemble prédéfini (et éventuellement variable en temps). Les discontinuités possibles dans ces systèmes surviennent en raison d'un changement soudain du champ vectoriel à la frontière de l'ensemble de contraintes. Le cadre général que nous adoptons est relié à différentes classes de systèmes non lisses dans la littérature, et peut être décrit par une interconnexion d'une équation différentielle ordinaire avec une relation statique. Les résultats de cette thèse apportent des contributions à l'analyse et aux méthodes numériques développées pour une telle classe de systèmes.Le premier problème que nous considérons est lié à la stabilité d'un point d'équilibre pour la classe susmentionnée de systèmes non lisses. Nous proposons des définitions appropriées pour la stabilité d'un équilibre et les fonctions de Lyapunov, qui prennent en considération la présence de contraintes dans le système. En présence de contraintes coniques, il semble naturel de travailler avec des fonctions de Lyapunov cône-copositives. Pour confirmer cette intuition, et comme premier résultat principal, nous prouvons que, pour une certaine classe de systèmes avec contraintes coniques avec un équilibre exponentiellement stable, il existe toujours une fonction de Lyapunov lisse cône-copositive. En mettant un peu plus de structure sur le champ de vecteurs du système, comme l'homogénéité, nous pouvons montrer que les fonctions susmentionnées peuvent être approchées par une fonction rationnelle de polynômes homogènes cône-copositifs.Cette dernière classe de fonctions est particulièrement adaptée au calcul numérique et nous fournissons deux types d'algorithmes dans ce but. Ces algorithmes consistent en une hiérarchie de problèmes d'optimisation linéaires ou semi-définis pour le calcul de la fonction de Lyapunov cône-copositive. Pour les contraintes coniques, nous proposons un algorithme de discrétisation basé sur le partitionnement simplicial d'un simplexe, de sorte que la recherche de la fonction souhaitée est abordée en construisant une hiérarchie de programmes linéaires. Notre deuxième algorithme est adapté aux ensembles semi-algébriques, où une hiérarchie de programmes semi-définis est construite pour calculer les fonctions de Lyapunov sous la forme d'un polynôme somme de carrés. Quelques exemples sont donnés pour illustrer notre approche.Poursuivant notre étude des systèmes à état contraint, nous considérons ensuite l'évolution temporelle d'une mesure de probabilité qui décrit la distribution de l'état sur un ensemble. Contrairement aux équations différentielles ordinaires lisses, où l'évolution de cette mesure de probabilité est décrite par l'équation de Liouville, le flot associé à l'inclusion différentielle non lisse n'est pas nécessairement inversible et on ne peut pas directement dériver une équation de continuité pour décrire l'évolution de la distribution des états. Au lieu de cela, nous considérons l'approximation de Lipschitz pour notre système original non lisse et construisons une séquence de mesures obtenue à partir des équations de Liouville correspondant à ces approximations. Cette séquence de mesures converge en topologie faible étoile vers la mesure décrivant l'évolution de la distribution des états pour le système original non lisse. Cela nous permet d'approximer numériquement l'évolution des moments pour notre système original non lisse, en utilisant une hiérarchie de programmes semi-définis. En utilisant une méthodologie similaire, nous étudions l'approximation du support de la solution à l'aide d'approximations polynomiales