Sur la stabilité et la robustesse des systèmes non-linéaires en cascade - Application aux systèmes mécaniques

We present new tools for stability and robustness analysis of nonlinear dynamical systems. We provide a precise Lyapunov framework for uniform semiglobal and practical asymptotic stability. ``Semiglobal'' refers to the situation when the domain of attraction is not the whole state-space but, instead, a compact set that may be arbitrarily enlarged by a convenient tuning of parameters. ``Practical'' concerns the case when an arbitrarily small compact neighborhood of the origin (instead of the origin itself) is asymptotically stable. As opposed to many related concepts, they allow the estimate of solutions to depend on the tuning parameter and so, potentially, on the radius of the desired domain of attraction and the amplitude of the tolerated steady-state error. Compared to classical results for global asymptotic stability, this feature requires to impose an additional requirement on the bounds on the Lyapunov function. We illustrate the importance of this condition by showing that, when the latter is violated, no stability property is ensured. We also derive a converse Lyapunov result for the class of USPAS systems whose solutions' estimate is independent of the radius of the attractive ball. The generated Lyapunov function is especially designed to fit the context of cascaded systems as its gradient is bounded by a time-invariant function. With the proposed Lyapunov framework for semiglobal and practical asymptotic stability, some tools are presented that ensure the preservation of these stability properties by cascade interconnection. In general terms, similarly to existing results for global asymptotic stability, it is required that the solutions of the overall cascade be bounded and that a convenient Lyapunov function be explicitly known for the driven subsystem. In view of the converse result we establish, we relax this latter requirement in the semiglobal case for a wide class of systems. This is particularly useful when invoking averaging techniques, as illustrated by the output feedback control of the double integrator affected by a persistently exciting signal. Furthermore, in the case of uniform global practical asymptotic stability, the boundedness assumption on the solutions of the cascade is replaced by growth restriction on the interconnection term. This makes it easy to apply in specific problems. We illustrate its use by quantifying the effect of smoothing $\sign$ functions in disturbance rejection. We show that, if some (non necessarily compact) sets are globally asymptotically stable (GAS) for two subsystems taken separately, then their cross product is GAS for the corresponding cascade provided that its solutions are globally bounded. On some occasions, this requirement can be replaced by a simple growth order condition on the interconnection term (plus forward completeness). This work includes, as a special case, partial stability for cascades. As an illustration, we provide a concise proof for a recently established result of formation control of surface vessels along a straight path and with a prescribed velocity. We analyze the stability of cascaded systems with inputs by providing sufficient conditions under which integral input to state stability is preserved by cascade interconnection. These conditions are first expressed in Lyapunov terms and then in terms of estimates of the solutions of each subsystem taken separately. We illustrate the significance of our theoretical findings by solving specific open problems in the field of mechanical systems. We proceed to the robustness analysis of PID-controlled manipulators to friction, model uncertainty, actuators' dynamics, etc. Another application concerns the formation control of spacecrafts. We establish global practical asymptotic stability of the corresponding system when only bounds on the leader's anomaly are available. Finally, we show that a similar stability property can be obtained for the synchronization of two surface vessels with little information on the leader vehicle.Nous présentons de nouveaux outils pour l'analyse de la stabilité et de la robustesse des systèmes dynamiques non-linéaires. Nous proposons un cadre précis pour l'étude de la stabilité uniforme semiglobale et/ou pratique asymptotique. Le terme ``semiglobal'' signifie que le domaine d'attraction n'est pas l'espace d'état tout entier, mais un ensemble compact pouvant être arbitrairement agrandi par le réglage de certains paramètres. Le mot ``pratique'' concerne le fait qu'un voisinage arbitrairement petit de l'origine (au lieu de l'origine elle-même) est asymptotiquement stable. Contrairement à de nombreux concepts similaires, ces propriétés autorisent que l'estimée des solutions dépende du paramètre de réglage et ainsi, potentiellement, des rayons du domaine d'attraction et de la boule attractive désirés. Comparativement aux résultats classiques sur la stabilité globale asymptotique, cette caractéristique impose une hypothèse supplémentaire sur les bornes de la fonction de Lyapunov. Nous illustrons l'importance de cette hypothèse en montrant que, lorsqu'elle est violée, aucune propriété de stabilité ne peut être garantie. Nous proposons aussi un résultat converse pour la classe des systèmes USPAS dont l'estimée des solutions est indépendante du rayon de la boule vers laquelle les solutions convergent. La fonction de Lyapunov ainsi générée est spécialement façonnée pour une utilisation dans un contexte cascade puisque son gradient est borné par un fonction indépendante du temps. A partir de ce cadre théorique pour la stabilité semiglobale et pratique, nous proposons des outils qui garantissent la préservation de ces propriétés sous l'interconnection en cascade. De la même manière que pour la stabilité globale asymptotique, il est supposé que les solutions de la cascade sont uniformément bornées et qu'une fonction de Lyapunov est connue pour le sous-système aval. Le théorème converse que nous proposons permet en outre de supprimer cette dernière hypothèse pour une large classe de systèmes. Ceci s'avère particulièrement efficace lors de l'utilisation de techniques de moyennage, ainsi que l'illustre l'exemple du contrôle par retour de sortie du double intégrateur affecté par un signal d'excitation persistante. Dans le cas de la stabilité uniforme globale pratique asymptotique, l'hypothèse de bornitude des solutions peut être avantageusement remplacée par des restrictions d'ordre de croissance sur le terme d'interconnection. Ceci fait de ce résultat un outil aisé à appliquer dans nombre d'applications spécifiques. Nous illustrons son utilisation en quantifiant l'effet du lissage des fonctions ``signe'' dans le rejet de perturbations. Nous montrons que, si des ensembles donnés (non nécessairement compacts) sont globalement asymptotiquement stables (GAS) pour deux sous-systèmes pris séparément, alors leur produit Cartésien est GAS pour la cascade correspondante si les solutions de cette dernière sont globalement bornées. Dans certaines situations, cette hypothèse peut être remplacée par une simple restriction de l'ordre de croissance du terme d'interconnection (plus la complétude positive). Ces travaux incluent, comme cas particulier, la stabilité partielle des systèmes en cascade. En guise d'illustration, nous proposons une preuve concise d'un résultat récemment établi sur le contrôle de la formation de navires le long d'une trajectoire rectiligne avec une vitesse prédéfinie. Nous analysons la stabilité des systèmes en cascade avec entrée en proposant des conditions suffisantes sous lesquelles la stabilité intégrale entrée-état est préservée par l'interconnection cascade. Ces conditions sont d'abord exprimées par rapport à des fonctions de Lyapunov, puis sur les estimées des solutions des sous-systèmes pris individuellement. Nous illustrons la pertinence de nos résultats théoriques en résolvant des problèmes de contrôle ouverts dans le domaine des systèmes mécaniques. Nous analysons la robustesse des robots manipulateurs contrôlés par PID vis-à-vis des frottements, des incertitudes de modèle, de la dynamique des actionneurs, etc. Une autre application concerne le contrôle d'une formation de véhicules spatiaux. Nous établissons la stabilité globale pratique asymptotique du système correspondant lorsque seules des bornes sur les paramètres orbitaux du véhicule leader sont disponibles. Enfin, nous montrons qu'une propriété de stabilité similaire peut être obtenue pour la synchronisation de deux navires lorsque peu d'information sur le navire leader est disponible