Tropical Hodge theory and applications

Dans cette thèse, nous démontrons que la cohomologie tropicale d'une variété tropicale projective lisse vérifie plusieurs propriétés de symétries appelées propriétés kählériennes. Ces propriétés sont la dualité de Poincaré, le théorème de Lefschetz difficile, les relations de Hodge-Riemann et la conjecture monodromie-poids. Nous proposons de plus quelques applications.Dans le cas local, nous construisons une vaste famille d'éventails, dits tropicalement épluchables, dont les compactifications canoniques vérifient les propriétés kählériennes. Nous montrons aussi que la cohomologie tropicale calcule leurs anneaux de Chow et certains quotients des anneaux de Stanley-Reisner particulièrement importants en combinatoire.Pour le cas global, la preuve du théorème principal mentionné ci-dessus fait entre autre apparaître des théorèmes d'existence de bonnes triangulations et des versions particulières d'analogues tropicaux de la suite spectrale de Deligne, de la suite spectrale de Steenbrink et de l'opérateur de monodromie aussi appelé opérateur eigenwave.Comme application, nous généralisons le travail de De Concini-Procesi et Feichtner-Yuzvinsky concernant les compactifications magnifiques aux cas des éventails de Bergman généralisés.Par ailleurs, nous montrons une conjecture de Hodge tropicale pour les variétés tropicales projectives lisses admettant une triangulation rationnelle : les classes de Hodge sont exactement les classes de degré (p,p) dans le noyau de la monodromie.Finalement, nous généralisons les polynômes de Symanzik en dimensions supérieures. En dimension un, ces polynômes apparaissent en physique, en combinatoire et plus récemment en théorie de Hodge asymptotique. Ils possèdent de nombreuses propriétés qui restent valides pour notre généralisation. Ce travail est une première étape pour comprendre l'asymptotique de certaines données associées à une dégénérescence de variétés complexes en dimension quelconque. Par ailleurs, nous fournissons une description complète du graphe d'échange des indépendants d'un matroïde quelconque.In this thesis, we prove that the tropical cohomology of a smooth projective tropical variety verifies several symmetry properties: namely, tropical analogs of the Kähler package composed of the Poincaré duality, the hard Lefschetz theorem, the Hodge-Riemann bilinear relations and the monodromy-weight conjecture. We also give some applications.In the local case, we construct a wide family of fans, called tropically shellable fans, whose canonical compactifications verify the Kähler package. We show that the tropical cohomology computes their Chow rings and some quotients of the Stanley-Reisner rings of simplicial complexes which are of particular interest in combinatorics.In the global case, the proof of the main theorem mentioned above uses interesting objects as the existence of some good triangulations and specific versions of tropical analogs of the Deligne spectral sequence, the Steenbrink spectral sequence and the monodromy operator also known as the tropical eigenwave operator.As an application of our results, we get a generalization of the work of De Concini-Procesi and Feichtner-Yuzvinski about wonderful compactifications to the case of toric compactifications induced by unimodular subfans of Bergman fans.In another direction, we prove a tropical Hodge conjecture for smooth projective varieties admitting a rational triangulation: the tropical Hodge classes coincide with the kernel of the monodromy restricted to parts of bidegree (p,p).Finally, we provide a generalization of Symanzik polynomials in higher dimensions. In dimension one, these polynomials appear in combinatorics, in physics and recently in asymptotic Hodge theory. They have many known properties that are still valid in our generalization. This is a first step to understand the asymptotic of some data on degenerating families of complex varieties in any dimension. We also provide a complete description of the exchange graph of independent sets of any matroid