Geometric inequalities in substamatic and pseudohyperbolic environments.

This thesis is divided in two parts. In the first one, using the inverse mean curvature flow, we prove two weighted geometric inequalities that hold for strictly mean convex and star-shaped hypersurfaces in Euclidean space. The first one involves the weighted area and the area of the hypersurface and also the volume of the region enclosed by the hypersurface. The second one involves the total weighted mean curvature and the area of the hypersurface. Moreover, versions of the first inequality for the sphere and for the Ressner-Nordström-AdS manifold are proven. We end the first part with an example of a convex surface for which the ratio between the polar moment of inertia and the square of the area is less than that of the round sphere. In the second part, using spinorial techniques, we prove, for a class of pseudo-hyperbolic ambient manifolds, a Heintze-Karcher type inequality. We then use this inequality to show an Alexandrov type theorem in such spaces.Esta tese está divida em duas partes. Na primeira, usando o fluxo pelo inverso da curvatura média, provamos duas desigualdades integrais ponderadas que são válidas para hipersuperfícies estreladas e estritamente média convexas no espaço euclidiano. A primeira desigualdade envolve a área e a área ponderada da hipersuperfície e também o volume da região limitada pela hipersuperfície. A segunda desigualdade envolve a curvatura média ponderada total e a área da hipersuperfície. Além disso, versões da primeira desigualdade para a esfera e para o espaço Ressner-Nordström-AdS são provadas. Ao final da primeira parte da tese, exibimos um exemplo de uma superfície estritamente convexa para a qual a razão entre o momento polar de inércia e o quadrado da área é menor que a mesma razão na esfera. Na segunda parte da tese, usamos técnicas espinoriais para provar uma desigualdade do tipo Heintze-Karcher para uma classe de variedades pseudo-hiperbólicas. Em seguida, usamos essa desigualdade para mostrar um teorema do tipo Alexandrov em tais espaços