Determination of control strategies for non linear parabolic partial differential equations

Le contexte général de ces recherches est la commande des systèmes physiques modélisés par des équations aux dérivées partielles (EDP). L’intérêt de tels modèles mathématiques, par rapport aux approches reposant sur des modèles de dimension finie, est qu’ils permettent d’envisager le contrôle d’une infinité de dynamiques en même temps. Les champs d’application sont nombreux et dans le cadre de la fusion nucléaire par exemple, il est nécessaire de développer de nouveaux outils pour déterminer des lois de commandes adaptés à des systèmes modélisés par des EDPs paraboliques non-linéaires : l’objectif étant la stabilisation à zéro et le rejet de perturbations. Il s’agit en particulier de contrôler le profil de sécurité dont l’évolution est décrite par un système d’EDP parabolique décrivant le flux magnétique et l’état thermique du plasma. Le problème de détermination du contrôle permettant de stabiliser le profil de sécurité est formulé comme un problème de minimisation. Du fait de son caractère mal posé, le problème inverse est résolu de matière itérative par la méthode régularisante du gradient conjugué. Les principaux développements concernent la mise en œuvre de stratégies quasi en ligne permettant d’obtenir des contrôles pertinents à l’aide d’actionneurs internes (zones ou ponctuels). Les résultats montrent que cette méthode généraliste numérique permet d’obtenir des stratégies de contrôle efficaces et ce sans hypothèses limitatives sur le système étudié. Les résultats sont d’autant plus satisfaisant que le modèle mathématique est en adéquation avec les phénomènes physiques étudiés et que la dynamique du système n’est pas totalement inconnue.The general context of the investigated study is the control of distributed parameter systems,such as those modeled by partial differential equations (PDE). The interest of this type of mathematical model compared to finite dimensions mathematical models is that it allows to consider the control of an infinity of dynamics at the same time. The fields of application are numerous and in the context of nuclear fusion for example, it isnecessary to determine control strategies for both zero stabilization and disturbances rejection. For nuclear fusion, the goal is to control the safety profile.The evolution of the spatial distribution of this key factor (conditioning the stability of the plasma) is described by a parabolic PDE system able to estimate the magnetic flux and the thermal state of the plasma. The problem of determining the control strategy to stabilize the safety profile is formulated as a minimization problem and solved using an inverse problem. Due to its well-known ill-posed character, the method of regularization of the conjugate gradient is adapted to solve this inverse heat conduction problem. Implementation of quasi-online strategies to obtain relevant controls for such nonlinear systems is developed. The actuators are intern to the geometry. The presented results show that this generalist numerical method makes it possible to obtain effective control strategies without strong assumptions on the studied system. The proposed alternative is meaningful if the mathematical model is in adequacy with the physical phenomena studied and as the system dynamics are not completely unknown