Contrôlabilité frontière, stabilisation et poursuite pour des systèmes paraboliques

Mathematical modeling has a key role in the description of large part of phenomena in applied science, technological and industrial applications.A mathematical model is a set of mathematical relations, usually equations, able to describe the essential features of a natural or artificial system, with the purpose to describe, forecast and control its evolution.The goal of this thesis is to study some control problems in mathematical models governed by partial differential equations of parabolic type. In Chapter one we introduce in a general way the problems that have been studied and the obtained main results.In Chapter two the Single Particle Model is used to describe the behavior of a Li-ion battery. The main goal is to design a feedback input current in order to regulate the State of Charge (SOC) to a prescribed reference trajectory. In order to do that, we use the boundary ion concentration as output. First, we measure it directly and then we assume the existence of an appropriate estimator, which has been established in the literature using voltage measurements. By applying backstepping method and Lyapunov tools, we are able to build observers and to design output feedback controllers giving a positive answer to the SOC tracking problem. We provide convergence proofs and perform some numerical simulations to illustrate our theoretical results.The Chapter three is devoted to study the boundary controllability property of some parabolic-elliptic systems. More precisely, along this chapter, we prove the null controllability property for two one-dimensional parabolic-elliptic systems. Both of them under the action of one scalar control at the boundary. In a first case, we study the null controllability for a system with a non-linear term in the parabolic part with a control placed at the boundary of the parabolic equation. In a second case, we study a linear system with the control placed at the boundary of the elliptic part. The arguments, in the first case, rely on the controllability-observability duality principle and a suitable Carleman estimate for the solution of the adjoint equation of the linearized system. Then, by means of a local inverse theorem we prove the result for the original system. For the second case, we use the moment method and the spectral analysis of the underlying spatial operator associated to such system.In Chapter four, we address the problem of rapid stabilization of a one dimensional unstable heat equation under the action of an unknown boundary disturbance. Combining the backstepping method and the multivalued operator $sign(cdot)$, we design a boundary feedback law which exponentially stabilizes the system, in the $L^2$ norm. Moreover, the rate can be fixed arbitrarily large. The existence of solutions to the closed-loop system is obtained by using the theory of maximal monotone operators and numerical simulations are performed in order to illustrate our results.Finally, in Chapter five, we collect some conclusion and remarks on every problem studied in the previous chapters. Besides, we discuss some remaining open questions and future line research, for every one of those problems.La modélisation mathématique a un rôle clé dans la description d'une grande partie des phénomènes dans les sciences appliquées, les applications technologiques et industrielles.Un modèle mathématique est un ensemble de relations mathématiques, généralement des équations, capables de décrire les caractéristiques essentielles d'un système naturel ou artificiel, dans le but de décrire, prévoir et contrôler son évolution.Le but de cette thèse est d'étudier certains problèmes de contrôle dans des modèles mathématiques régis par des équations différentielles partielles de type parabolique. Dans le chapitre un on introduit une forme générale, les problèmes ètudiés et les résultats principauseAu chapitre deux, le modèle à particule unique est utilisé pour décrire le comportement d'une batterie Li-ion. L'objectif principal est de concevoir un courant d'entrée de rétroaction afin de réguler l'état de charge, denoté SOC par ses initiales en anglais, à une trajectoire de référence prescrite. Pour ce faire, nous utilisons la concentration ionique limite comme sortie. Tout d'abord, nous la mesurons directement puis nous supposons l'existence d'un estimateur approprié, qui a été établi dans la littérature à l'aide de mesures de tension. En appliquant la méthode de backstepping et les outils Lyapunov, nous sommes en mesure de construire des observateurs et de concevoir des contrôleurs de retour de sortie donnant une réponse positive au problème de suivi du SOC. Nous fournissons des preuves de convergence et effectuons des simulations numériques pour illustrer nos résultats théoriques.Le chapitre trois est consacré à l'étude de la propriété de contrôlabilité frontière de certains systèmes paraboliques-elliptiques. Plus précisément, tout au long de ce chapitre, nous prouvons la propriété de contrôlabilité nulle pour deux systèmes paraboliques-elliptiques unidimensionnels. Les deux équations sont sous l'action d'un contrôle scalaire à la frontière. Dans un premier cas, nous étudions la contrôlabilité nulle pour un système avec un terme non linéaire dans la partie parabolique avec un contrôle placé à la frontière de l'équation parabolique. Dans un second cas, nous étudions un système linéaire avec le contrôle placé aux bords de l'équation elliptique. Les arguments, dans le premier cas, reposent sur le principe de dualité contrôlabilité-observabilité et une estimation de Carleman appropriée pour la solution de l'équation adjointe du système linéarisé. Ensuite, au moyen d'un théorème inverse local, nous prouvons le résultat pour le systeme non linéaire original. Pour le second cas, nous utilisons la méthode des moments et l'analyse spectrale de l'opérateur spatial sous-jacent associé à un tel système.Au chapitre quatre, nous abordons le problème de la stabilisation rapide d'une équation de chaleur instable unidimensionnelle sous l'action d'une perturbation inconnue. En combinant la méthode de backstepping et l'opérateur à valeurs multiples text{sign} (cdot) , nous concevons une loi de rétroaction qui stabilise exponentiellement le système, dans la norme L^2. De plus, le taux de décroissance peut être fixé arbitrairement grand. L'existence de solutions du système en boucle fermée est obtenue en utilisant la théorie des opérateurs monotones maximaux et des simulations numériques sont effectuées afin d'illustrer nos résultats.Enfin, au chapitre cinq, nous rassemblons quelques conclusions et remarques sur les chapitres précédents. En outre, nous discutons de certaines questions en ouvertes et de recherches futures, pour chacun de ces problèmes