Finance Robuste : une approche de randomisation du modèle

This PhD dissertation presents three research topics. The first two topics are related to the domain of robust finance and the last is related to a numerical method applied in risk management of insurance companies. In the first part, we focus on the problem of super-replication duality for American options in discrete time financial models. We con- sider the robust framework with a family of non-dominated probability measures and the trading strategies are dynamic on the stocks and static on the options. We use two differ- ent ways to obtain the pricing-hedging duality. The first insight is that we can reformulate American options as European options on an enlarged space. The second insight is that by considering a fictitious extensions of the market on which all the assets are traded dynamically. We then show that the general results apply in two important examples of the robust framework. In the second part, we consider the problem of super-replication and utility maximization with proportional transaction cost in discrete time financial market with model uncertainty. Our key technique is to convert the original problem to a frictionless problem on an enlarged space by using a randomization technique to get her with the minimax theorem. For the super-replication problem, we obtain the duality results well-known in the classical dominated context. For the utility maximization problem, we are able to prove the existence of the optimal strategy and the convex duality theorem in our context with transaction costs. In the third part, we present a numerical method based on a sparse grid approximation to compute the loss distribution of the balance sheet of an insurance company. We compare the new numerical method with the traditional nested simulation approach and review the convergence of both methods to estimate the risk indicators under consideration.Dans cette thèse, on considère trois sujets. Les deux premiers sujets sont liés avec la domaine de robuste finance et le dernier est une méthode numérique appliqué sur la gestion du risque des entreprises d’assurance. Dans la première partie, on considère le problème de la surréplication des options américaines au temps discret. On considère une famille non-dominée des mesures de probabilité et les stratégies de trading sont dynamiques pour les sous-jacents et statiques pour les options. Pour obtenir la dualité de valorisation-couverture, on a deux méthodes. La première méthode est de reformuler les options américaines comme options européens dans un espace élargi. La deuxième méthode est de considérer un marché fictif dans lesquelles stratégies pour tous les actifs sont dynamiques. Ensuite on applique le résultat général à deux exemples importants dans le contexte robuste. Dans la deuxième partie, on considère le problème de sur-réplication and maximisation d’utilité au temps discret avec coût de trans action sous l’incertitude du modèle. L’idée principale est de convertir le problème original à un problème sans friction dans un espace élargi en utilisant un argument de randomisation et le théorème de minimax. Pour le problème de sur-réplication, on obtient la dualité comme dans le cas classique. Pour le problème de maximisation d’utilité, en utilisant un argument de la programmation dynamique, on peut prouver à la fois l’existence de la stratégie optimale et le théorème de la dualité convexe. Dans le troisième partie, on présente une méthode numérique basé sur l’approximation du sparse grid pour calculer la distribution de la perte du bilan d’un entreprise d’assurance. On compare la nouvelle méthode numérique avec l’approche classique de la simulation et étudie la vitesse de la convergence des deux méthodes pour estimer l’indicateur du risque