Finance Mathématique et Probabilités Numériques

rédigé en mars 2006This document presents my work in mathematical finance and numerical probability since 1998.The first Chapter deals with theoretical finance. The first part concerns discrete time financial markets with proportional transaction costs. We study two extensions of the usual models: markets with incomplete information, models with non-linear returns. We also discuss the American option pricing problem. The second part presents some advances in the theory of utility maximization in continuous time which includes: transaction costs, random time horizon and non-smooth utility functions. We also provide some multivariate versions of the so-called "bipolar theorem on $L^0_+$" which allows to better understand the real nature of the dual problems in this litterature. The second chapter contains some works on stochastic targets problems and PDEs. The two first sections make the links with parabolic PDEs. The third one deals with the hedging of European options in models with costs. In the third chapter, we present some advances on the numerical approximation of BSDEs. We start with the study of a family of representations for conditional expectations which allow a quick computation of a large number of conditional expectations at the same time. This is then used to provide numerical schemes for BSDEs in a Markovian setting. We also present some extensions of these works to BSDEs with jumps or with reflection. The last chapter deals with the "canadisation" of the time horizon in optimal control.Ce document est une synthèse de travaux menés depuis 1998 en finance mathématique et probabilité numérique. Le chapitre I présente différents résultats obtenus en finance théorique. La première partie concerne les marchés financiers en temps discret avec frictions. On y étudie trois extensions des modèles usuels~: évaluation d'options américaines, modèles à rendements non-linéaires, arbitrage en information incomplète. Dans la seconde partie, on résume une série de résultats portant sur les problèmes d'existence et de dualité en gestion optimale de portefeuille en temps continu. Il s'agit essentiellement de s'affranchir de trois hypothèses habituellement retenues~: absence de friction, fonctions d'utilité régulières, utilité ne dépendant que de la consommation ou de la richesse terminale. On présente également de nouveaux résultats de bipolarité sur $L^0$ qui sont liés aux problèmes duaux en optimisation de portefeuille. Le chapitre II rassemble des travaux portant sur la résolution (explicite ou numérique) de problèmes de cibles stochastiques par des techniques de type solutions de viscosité. Les deux premières sections portent sur les cibles stochastiques et leurs liens avec les équations paraboliques. La troisième section porte sur la couverture d'option en présence de coûts de transaction. Le chapitre III porte sur la discrétisation et l'approximation numérique d'équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR). Dans un premier temps, on étudie une famille de représentations alternatives permettant le calcul rapide d'un grand nombre d'espérances conditionnelles. Celle-ci est ensuite utilisée pour construire un schéma numérique permettant la résolution des EDSR dans un modèle markovien et le calcul de prix d'options américaines. On présente ensuite de nouveaux résultats obtenus pour les EDSR à sauts et réfléchies. Le chapitre IV traite de la ``randomisation'' (ou canadisation) de l'horizon de temps en contrôle stochastique