Sur le flot de l’équation d’Euler à surface libre

The Euler equation with free boundary, i.e the water waves system,describes the evolution of the interface between air and a perfect irrotational fluid.It is a system of two coupled equations : the Euler equation in the interior of thedomain and a kinematic equation describing the deformation of the domain. The four works that constitute the body of this thesis can be divided into three connected subjects on the Cauchy problem of the water waves system.In the continuation of the works in [2, 4, 5, 7] where the Cauchy problem forthe water waves system is shown to be well-posed and the flow map continuouson sufficiently regular Sobolev spaces we show :-In [60] that the water waves system with and without surface tension isquasi-linear in the strongest sense, i.e the flow map is not uniformly continuous.Moreover in the case with surface tension we show that in orderto have Lipschitz estimate on the flow map at least a loss of derivative. More generally for the Burgers equation augmented by a dispersiveterm of the form, we show that at least a loss of derivative is needed to ensure Lipschitz control on the flow.-In [61] we show that the results obtained in [60] are indeed optimal, that isfor the Burgers equation augmented with a dispersive term,alphain the flow map is indeed Lipschitz from for periodic data with 0 mean value. For the water waves system with surface tensionin two space dimension we show that after suitable re-normalisation that the flow map is Lipschitz under loss of derivative. In order to prove the results in [61] we developed a paradifferential generalisationof a complex Cole-Hopf type gauge transform first introduced by T. Taofor the Benjamin-Ono equation. In [62] we use this to improve upon knownresults on a numerical conjecture by Saut and Klein [45] on the dispersiveBurgers equation, which to the author’s knowledge is the first time the gaugetransform was implemented to that end for. In order to prove the different results in [60, 61, 62] we needed to study andrefine different known results in paradifferential calculus. More precisely in [59],we improve some estimates on the paracomposition operator introduced byAlinhac, give a proof of the change of variables in paradifferential operatorsand finally study the frequency cut-off after composition of paradifferentialoperators.L'équation d'Euler à surface libre décrit l'évolution de l'interface séparant l'air d'un fluide parfait irrotationnel. C'est un système de deux équations couplées : l'équation d'Euler à l'intérieur du domaine et une équation cinématique qui décrit les déformations du domaine. Les 4 travaux qui constituent le corps de cette thèse peuvent être divisés en trois sujets connectés au problème de Cauchy du système des water waves. Dans le prolongement des travaux de [2, 4, 5, 7], où les auteurs ont montré que le problème de Cauchy pour le système des water waves est bien posé et que le flot est continu sur des espaces de Sobolev suffisamment réguliers, nous montrons :- Dans [60] que le système des water waves avec ou sans tension de surface est quasi-linéaire au sens le plus fort du terme, c'est-à-dire que le flow n'est pas uniformément continu. De plus, dans le cas avec tension de surface, nous montrons que pour avoir une estimation Lipschitz sur le flot, il faut au moins une perte de dérivée. Plus généralement, pour l'équation de Burgers avec terme dispersif de la forme, nous montrons qu'il faut au moins une perte de dérivées pour assurer un contrôle Lipschitz sur le flot.- Dans [61], nous montrons que les résultats obtenus dans [60] sont effectivement optimaux, c'est-à-dire que pour l'équation de Burgers avec un terme dispersif,alphain le flot est effectivement Lipschitz de pour des données initiales périodiques de moyenne nulle. Pour le système des water waves avec tension de surface en deux dimensions d'espace, nous montrons qu'après re-normalisation, le flot est bien Lipschitz au prix d'une perte de dérivés. Afin de démontrer les résultats dans [61], nous avons développé une généralisation para-différentielle d'une transformation de jauge complexe de type Cole-Hopf introduite pour la première fois par T. Tao pour l'équation de Benjamin-Ono. Dans [62], nous l'utilisons pour améliorer les résultats connus sur une conjecture numérique due à Saut et Klein dans [45] sur l'équation de Burgers dispersive. Ce qui, à la connaissance de l'auteur, est la première fois que la transformation de jauge est mise en œuvre à cette fin pour. Afin de démontrer les différents résultats dans [60, 61, 62], nous avons étudié et affiné différents résultats connus en calcul paradifférentiel. Plus précisément, dans [59], nous améliorons certaines estimations sur l'opérateur de paracomposition introduit par Alinhac, nous donnons une preuve du changement de variables dans le calcul paradifférentiel et enfin nous étudions comment le support du cut-off fréquentiel varie après la composition d'opérateurs para-différentiels