Sur le problème de Cauchy pour des EDP quasi-linéaires de nature dispersive

This thesis investigates the Cauchy problem for some quasilinear dispersive equations. Being given such an equation, the goal is then to construct a unique solution to this equation with a prescribed initial data belonging in a function space as large as possible. We will study two models describing the time evolution of the surface of a fluid in a particular regime.The first part of this thesis is devoted to the study of the Kadomtsev-Petviashvili equation in the case of strong surface tension (KP-I). This equation has a Hamiltonian structure, so it admits an energy functional which is preserved under the flow. In order to recover solutions which are globally defined in time, we thus seek to construct a flow map in the Banach sace naturally associated with the energy. In addition, we restrict ourself to spaces including some special solutions (the KdV line soliton), so we require the functions to be periodic in the transverse direction.We start by illustrating the quasilinear behaviour of the equation : we show that a flow map defined on this space cannot be too regular. This limits the range of applicable methods known to solve this kind of problem. We thus use the so-called small times Fourier restriction norm method recently developped by Ionescu, Kenig and Tataru to deal with the same model without the periodicity assumption. We thereby obtain the global existence and uniqueness of a solution to the Cauchy problem in the energy space. At last, we prove that the flow map constructed this way is continuous yet not uniformly continuous on the bounded sets of the energy space.An interesting application of the construction of a global flow on the energy space containing the line solitons is to get rid of an extra condition on admissible perturbations in a result of Rousset-Tzvetkov on the orbital stability of the small speed line solitons.In the second part of the thesis, we turn to the fifth-order KP-I equation, which is an alternative to the previous model should the tension surface come close to a critical value in which the dispersive effect becomes weaker. Regarding this equation, the quasilinear behaviour only manifests when solutions are periodic in the transverse direction, and the other cases were treated in the work of Saut and Tzvetkov. We study the case of functions which are also periodic in the direction of propagation, and we show that at least for some choice of periods the flow map fails to be smooth. In order to treat the problem regardless of the periods, we make another use of the method above to construct a global flow in the space associated to the Hamiltonian of the equation.Dans cette thèse, on s'intéresse au problème de Cauchy pour des équations quasi-linéaires dispersives. Pour une telle équation, l'enjeu est de montrer l'existence et l'unicité d'une solution de l'équation avec une donnée initiale prescrite dans un espace fonctionnel le plus large possible. Nous étudierons deux modèles décrivant l'évolution de la surface d'un fluide satisfaisant certaines conditions physiques.La première partie est consacrée à l'étude de l'équation de Kadomtsev-Petviashvili avec forte tension de surface (KP-I). Cette équation possède une structure Hamiltonienne et admet donc une fonctionnelle d'énergie préservée par le flot. Afin d'obtenir des solutions définies globalement en temps, on cherche donc à construire un flot dans l'espace de Banach naturellement associé à cette énergie. De plus, on se restreint à des espaces contenant des solutions particulières (les solitons linéaires de KdV), on impose donc une condition de périodicité dans la direction transverse à la propagation du fluide.On commence par illustrer le caractère quasi-linéaire de l'équation en montrant a priori que le flot dans cet espace ne peut pas être très régulier. Ceci restreint l'éventail des méthodes connues pour résoudre ce type de problème. On a donc recours à la méthode dite de restriction de la transformée de Fourier en temps petits développée récemment par Ionescu, Kenig et Tataru pour traiter ce même modèle sans condition de périodicité. On obtient ainsi l'existence globale et l'unicité de la solution du problème de Cauchy dans l'espace d'énergie. Enfin, on montre que le flot ainsi construit est continu mais pas uniformément continu sur les ensembles bornés de l'espace d'énergie.Une application intéressante de la construction d'un flot global sur l'espace d'énergie contenant les solitons linéaires est de lever une restriction sur les perturbations admissibles dans un résultat de Rousset-Tzvetkov sur la stabilité orbitale des solitons linéaires de faible vitesse.Dans la deuxième partie de la thèse, on s'intéresse à l'équation KP-I d'ordre cinq, qui est une alternative au modèle précédent dans le cas d'une tension de surface avoisinant une valeur critique pour laquelle l'effet dispersif devient plus faible. Pour cette équation, le comportement quasi-linéaire ne se manifeste que pour des données périodiques dans la direction transverse, et les autres cas avaient été étudiés précédemment dans les travaux de Saut et Tzvetkov. On considère ici des données également périodiques dans la direction de propagation. On montre que pour certains choix de périodes, le flot ne peut pas être régulier. Afin de traiter le problème indifféremment des périodes spatiales, on utilise donc une nouvelle fois la méthode précédente pour construire un flot global dans l'espace associé au Hamiltonien de ce modèle