Dichotomie de Fatou-Julia et hyperbolicité non uniforme pour les endomorphismes holomorphes sur P2(C)

This thesis deals with two different aspects (polynomial skew products and postctitically finite endomorphisms) of holomorphic dynamics on projective plane P2. It contains the following three papers: I. Non-wandering Fatou components for strongly attracting polynomial skew products. (Published in The Journal of Geometric Analysis.) We prove a generalization of Sullivan's non-wandering domain theorem for polynomial skew products onC2. More precisely, we show that if f is a polynomial skew product with an invariant vertical line L, assume L is attracting and moreover the corresponding multiplier is sufficiently small, then there is no wandering Fatou component in the attracting basin of L. II. Non-uniform hyperbolicity in polynomial skew products. (Submitted for publication.) We show that if f is a polynomial skew product with an attracting invariant vertical line L, assume the restriction of f on L satisfies one of the following non-uniformly hyperbolic condition: 1. fjL is topological Collet-Eckmann and WeaklyRegular, 2. the Lyapunov exponent at every critical value point lying in the Julia set of fjL exist and is positive, and there is no parabolic cycle. Then the Fatou set in the attracting basin of L is union of basins of attracting cycles, and the Julia set in the attracting basin of L has Lebesgue measure zero. As a corollary, there are no wandering Fatou components in the attracting basin of L. III. Structure of Julia sets for post-critically finite endomorphisms on P2. (Preprint.) De Thélin proved that for post-critically finite endomorphism on P2, the Green current T is laminar in J1 n J2, where J1 denotes the Julia set, and J2 denotes the support of the measure of maximal entropy. We give a more explicit description of the dynamics on J1 n J2 for post-critically finite endomorphism on P2: either x is contained in an attracting basin of a critical component cycle, or there is a Fatou disk passing through x. We also prove that for post-critically finite endomorphism on P2 such that all branches of PC(f) are smooth and intersect transversally, J2 = P2 if and only if f is strictly post-critically finite. This gives a partial converse of a result of Jonsson. As an intermediate step of the proof, we show that for post-critically finite endomorphism on P2, J2 is the closure of the set of repelling cyclesCette thèse traite de deux aspects différents (produits semi-directs polynomiaux et endomorphismes post- critiquement ni) de la dynamique holomorphe sur le plan projectif P2. Elle contient les trois articles suivants : I. Non-wandering Fatou components for strongly attracting polynomial skew products. (Publié dans The Journal of Geometric Analysis.) Nous prouvons une généralisation du théorème de non-errance de Sullivan pour les produits semi-directs polynomiaux de C2. Plus précisément, nous montrons que si f est un produit semi-direct polynomial avec une droite verticale invariante L attractive, et que de plus le multiplicateur correspondant est suffisamment petit, alors il n'y a pas de composante Fatou errante dans le bassin d'attraction de L. II. Non-uniform hyperbolicity in polynomial skew products. (Soumis pour publication.) Soit f un produit semi-directs polynomial avec une droite verticale invariante attractive L. Supposons que f restreinte à L satisfait l'une des conditions non uniformément hyperboliques suivantes: 1. fL est topologiquement Collet-Eckmann et faiblement régulière, 2. l'exposant de Lyapunov à chaque valeur critique se trouvant dans l'ensemble de Julia de fjL existe et est positif, et il n'y a pas de cycle parabolique. Alors l'ensemble de Fatou dans le bassin attractif de L est l'union des bassins des cycles d'attraction, et l'ensemble de Julia dans le bassin attractif de L est de mesure de Lebesgue nulle. En particulier il n'y a pas de composants Fatou errant dans le bassin d'attraction de L. III. Structure of Julia sets for post-critically finite endomorphisms on P2. De Thélin a prouvé que pour l'endomorphisme post-critiquement fini sur P2, le courant de Green T est laminaire dans J1nJ2, où J1 est l'ensemble de Julia et J2 est le support dela mesure de l'entropie maximale. Dans ce contexte nous donnons une description plus explicite de la dynamique sur J1 n J2: ou bien x est contenu dans le bassin d'attraction d'un cycle de composantes critiques, ou bien il y a un disque Fatou passant par x. Nous montrons également que pour un endomorphisme post-critiquement fini de P2 tel que toutes les branches de PC(f) sont lisses et se coupent transversalement, J2 = P2 si et seulement si f est strictement post-critiquement fini. Cela est une réciproque partielle d'un résultat de Jonsson. Comme étape intermédiaire de la preuve, nous montrons que J2 est l’adhérence de l'ensemble des cycles répulsifs