Plasticity in networks of spiking neurons in interaction

Dans cette thèse nous étudions un phénomène susceptible d’être responsable de notre capacité de mémoire: la plasticité synaptique. C’est le changement des liens entre les neurones au cours du temps. Ce phénomène est stochastique: c’est le résultat d’une suite de divers et nombreux mécanismes chimiques. Le but de la thèse est de proposer un modèle de plasticité pour des neurones à décharge en interaction. La principale difficulté consiste à trouver un modèle qui satisfait les conditions suivantes: ce modèle doit être à la fois cohérent avec les résultats biologiques dans le domaine et assez simple pour être étudié mathématiquement et simulé avec un grand nombre de neurones.Dans un premier temps, à partir d’un modèle assez simple de plasticité, on étudie l’apprentissage de signaux extérieurs par un réseau de neurones ainsi que le temps d’oubli de ce signal lorsque le réseau est soumis à d’autres signaux (bruit). L’analyse mathématique nous permet de contrôler la probabilité d’une mauvaise évaluation du signal. On en déduit un minorant du temps de mémoire du signal en fonction des paramètres.Ensuite, nous proposons un modèle basé sur des règles stochastiques de plasticité fonction du temps d’occurrence des décharges électriques neurales (STDP en anglais). Ce modèle est décrit par un Processus de Markov Déterministe par Morceaux (PDMP en anglais). On étudie le comportement en temps long d’un tel réseau de neurones grâce à une analyse lent-rapide. En particulier, on trouve des conditions suffisantes pour lesquelles le processus associé aux poids synaptiques est ergodique.Enfin, nous faisons le lien entre deux niveaux de modélisation: l’approche microscopique et celle macroscopique. À partir des dynamiques présentées d’un point de vu microscopique (modèle du neurone et son interaction avec les autres neurones), on détermine une dynamique limite qui représente l’évolution d’un neurone typique et de ses poids synaptiques entrant: c’est l’analyse champ moyen du modèle. On condense ainsi l’information sur la dynamique des poids et celle des neurones dans une seule équation, celle d’un neurone typique.In this thesis, we study a phenomenon that may be responsible for our memory capacity: the synaptic plasticity. It modifies the links between neurons over time. This phenomenon is stochastic: it is the result of a series of diverse and numerous chemical processes. The aim of the thesis is to propose a model of plasticity for interacting spiking neurons. The main difficulty is to find a model that satisfies the following conditions: it must be both consistent with the biological results of the field and simple enough to be studied mathematically and simulated with a large number of neurons.In a first step, from a rather simple model of plasticity, we study the learning of external signals by a neural network as well as the forgetting time of this signal when the network is subjected to other signals (noise). The mathematical analysis allows us to control the probability to misevaluate the signal. From this, we deduce explicit bounds on the time during which a given signal is kept in memory.Next, we propose a model based on stochastic rules of plasticity as a function of the occurrence time of the neural electrical discharges (Spike Timing Dependent Plasticity, STDP). This model is described by a Piecewise Deterministic Markov Process (PDMP). The long time behaviour of such a neural network is studied using a slow-fast analysis. In particular, sufficient conditions are established under which the process associated with synaptic weights is ergodic. Finally, we make the link between two levels of modelling: the microscopic and the macroscopic approaches. Starting from the dynamics presented at a microscopic level (neuron model and its interaction with other neurons), we derive an asymptotic dynamics which represents the evolution of a typical neuron and its incoming synaptic weights: this is the mean field analysis of the model. We thus condense the information on the dynamics of the weights and that of the neurons into a single equation, that of a typical neuron