Trajectories of Fractional Brownian Motions

Tato práce se věnuje frakcionálnímu Brownovu procesu a především vlastnostem jeho trajektorií. Nejprve jsou definovány základní pojmy a samotný frakcionální Brownův po- hyb. Následně jsou odvozeny jeho základní vlastnosti, mezi které patří korelace přírůstků a soběpodobnost. V souvislosti s regularitou trajektorií je ukázána jejich spojitost s vy- užitím Kolmogorovovy-Čencovovy věty. V hlavní části práce je poté podrobně dokázán zákon iterovaného logaritmu, který je dále doplněn o simulace limitního chování trajek- torií frakcionálního Brownova pohybu a využit následně v důkazu nediferencovatelnosti trajektorií. 1This work concerns the fractional Brownian motion, in particular, the properties of its trajectories. Firstly some basic notions are defined and then the definiton of the fractional Brownian motion itself is given. Subsequently, its basic properties such as correlation of increments and self-similarity are derived. Continuity of its trajectories is shown using the Kolomogorov-Chentsov Theorem. The main chapter contains a thorough proof of the law of the iterated logarithm. It is complemented with simulations of limit behavior of trajectories and used to prove nondifferentiability. 1Department of Probability and Mathematical StatisticsKatedra pravděpodobnosti a matematické statistikyMatematicko-fyzikální fakultaFaculty of Mathematics and Physic