Modèles et outils pour les invariances d'échelle brisées: variations sur la transformation de Lamperti et contributions aux modèles statistiques de vortex en turbulence

Lamperti transformation is a known means to connect stationary processes andself-similar processes. We enlarge its use to deal in a general way with thedescription of scale properties in physics problems or for stochastic processes.The proper notion of scale according to this transformation is found to bebased on the Mellin intregral transform and we first use it to study the generalproperties of self-similar processes by converting stationary results ormethods. Second, we generalize the Lamperti transformation to brokenscale invariance and introduce an enlarged connection for those problems withnonstationary signal processing.We propose results on representation, modelization and analysis for complete orbroken scale invariance, with a focus on mixed time-Mellin scale representations.Specific kind of broken invariance are envisaged: finite size scale invariance,local self-similarity and a major part is devoted to stochastic discrete scaleinvariance that we define and study as the image in the scale domain of cyclostationarity.The scale properties are central to the problem of fluid turbulence and westudy turbulence by means of the fine-structure models of turbulence based oncollections of coherent structures or vortices. We propose some reflexionson the characterization of coherent structures and we specifically focus onthe Lundgren strained spiral vortex model by means of the (Mellin) scale representations.La transformation de Lamperti, connue pour mettre en correspondance lesprocessus stationnaires et les processus auto-similaires, nous permetd'aborder de manière générale la description des propriétés en échellede problèmes physiques ou de signaux stochastiques. La notion d'échellepertinente est montrée être celle construite sur les décompositions de Mellinet nous utilisons l'idée de la correspondance de Lamperti pourétudier les propriétés des processus auto-similaires à l'aide des outilsde l'analyse du signal stationnaire. D'autre part l'outil est généralisé auxsituations non invariantes en échelle ou avec des invariances brisées,et offre une correspondance généralisée avec les problèmes d'analysede signaux non stationnaires.Des méthodes de représentation, de modélisation et d'analyses sont construitesde cette manière, en particulier les classes de représentations mixtestemps-échelle. Nous étudions des situations spécifiques de brisure del'invariance en échelle incorporant les effets de taille finie, ouune invariance seulement locale, et nous mettons l'accent sur la propriétéd'invariance en échelles discrètes stochastique que nous introduisonscomme correspondant en échelle à la cyclostationarité.Parallèlement, la turbulence développée, dont les propriétés en échelle sontun ingrédient important, a été abordée par l'angle des modèles fondés sur descollections statistiques d'objets cohérents comme des vortex. Nous avançonsquelques réflexions sur la caractérisation de la signature de ces objetsstructurés et avons spécifiquement examiné le modèle de vortex de Lundgren,en cherchant à le formuler à l'aide des outils en échelle de Mellin