Anomalous Scaling and Generic Structure Function in Turbulence

We discuss on an example a general mechanism of apparition of anomalous scaling in scale invariant systems via zero modes of a scale invariant operator. We discuss the relevance of such mechanism in turbulence, and point out a peculiarity of turbulent flows, due to the existence of both forcing and dissipation. Following these considerations, we show that if this mechanism of anomalous scaling is operating in turbulence, the structure functions can be constructed by simple symmetry considerations. We find that the generical scale behavior of structure functions in the inertial range is not self-similar $S_n(\ell) \varpropto \ell^{\zeta n}$ but includes an “exponential self-similar" behavior $S_n(\ell) \varpropto \exp [\zeta_n\alpha^{-1}\ell^\alpha]$ where $\alpha$ is a parameter proportional to the inverse of the logarithm of the Reynolds number. The solution also follows exact General Scaling and approximate Extended Self-Similarity.À partir d'un exemple, nous discutons un mécanisme général de production de lois d'échelle anormales, dans un système invariant d'échelle. Ce mécanisme repose sur l'existence de valeurs propres nulles pour un opérateur invariant d'échelle. Nous discutons ensuite la pertinence de ce mécanisme en turbulence, en soulignant une particularité des écoulements turbulents, liée à la coexistence d'un forçage et de la dissipation. En utilisant ces considérations, nous montrons que si ce mécanisme s'applique à la turbulence, alors on peut construire les fonctions de structure par de simples arguments de symétrie. On trouve que le comportement générique des fonctions de structure n'est pas auto-similaire $S_n(\ell) \varpropto \ell^{\zeta n}$ mais inclut un terme “exponentiel auto-similaire" du type $S_n(\ell) \varpropto \exp [\zeta_n\alpha^{-1}\ell^\alpha]$, où $\alpha$ est un paramètre inversement proportionnel au logarithme du nombre de Reynolds. La solution satisfait également rigoureusement la propriété de Similarité Générale et approximativement la propriété d'Autosimilarité Étendue