Espaces de longueur d'entropie majorée : rigidité topologique, adhérence des variétés, noyau de la chaleur

JURY : Michel BENAÏM (Université de Neuchâtel) Président, Marc BOURDON (Université de Lille 1) Rapporteur, Bruno COLBOIS (Université de Neuchâtel) Co-directeur, Sylvestre GALLOT (Université de Grenoble I) Co-directeur, Hervé PAJOT (Université de Grenoble I), Marc TROYANOV (École Polytechnique de Lausanne) RapporteurIn order to obtain some precompactness and boundedness results, one generally consider the set of compact manifolds whose dimension, diameter and curvature are bounded. Since this set is not complete, there exists no general proof by compactness/ continuity. of the boundedness of invariants. As the entropy is almost unsensible to local variations of the metric or of the topology, we chose to consider the much larger family M(δ,H,D) of length spaces which admit a universal cover, whose diameter and (volume) entropy are bounded by H and D and which satisfy some 1-homotopic condition (called δ-non-abelianess). We show that M(δ,H,D) is complete w.r.t. the Gromov-Hausdorff distance; that the entropy and the marked length spectrum (resp. the first Betti number and the fondamental group) are lipschitz (resp. locally constant) functions; that the volume and the infimum of the curvature of two ε-close manifolds may be compared. Moreover, the closure of the subset M0(δ,H,D,V) (of negatively curved manifolds whose volume is bounded by V) is compact in M0(δ,H,D) and some uniform upper bounds on the heat kernel imply the precompactness of M0(δ,H,D,V) w.r.t. the spectral distance (which allows in particular a good description of the limit-spaces). The method is based on estimations of the volume of balls (without any assumptions on the curvature) and on the computation of a uniform ε := ε (δ,H,D) such that every Hausdorff ε-approximation between two spaces X and Y (which belong to M(δ,H,D) induces an isomorphism ρ between the groups of automorphisms of their universal covers, and lifts to a ρ-equivariant ε-almost-isometry between these covers.Un problème classique est d'identifier des sous-ensembles (pré)compacts de l'ensemble des espaces métriques de longueur (la distance entre deux espaces étant celle de Gromov-Hausdorff) et d'y étudier la continuité, la rigidité ou la « bornitude » de certains invariants. Habituellement, on considère l'ensemble Rn,K,D des variétés de dimension, courbure et diamètre bornés (par n, -K2 et D), qui n'est pas complet (la « bornitude » n'y découle donc pas d'une preuve unifiée de type compacité/continuité). Nous nous affranchissons des hypothèses de courbure en nous plaçant sur la famille Mδ,H,D des classes d'isométries d'espaces métriques de longueur de diamètre et d'entropie (volumique) bornés par D et H, qui admettent un revêtement universel et dont le groupe fondamental est δ-non-abélien (i.e. vérifie certaines des propriétés algébriques de croissance des groupes fondamentaux de variétés de courbure négative). Nous montrons que l'entropie est peu sensible à des variations locales drastiques de la métrique ou de la topologie, donc que Mδ,H,D est beaucoup plus grand que Rn,K,D. Nous prouvons cependant que Mδ,H,D est complet, et que le sous-ensemble M0δ,H,D,V (formé des variétés de courbure négative et de volume majoré par V) y est d'adhérence compacte. Sur M0δ,H,D,V nous établissons des majorations uniformes du noyau de la chaleur qui impliquent la précompacité de cette famille pour la distance spectrale, ce qui assure une description des propriétés spectrales des espaces-limites. Sur Mδ,H,D nous prouvons que l'entropie et le spectre marqué des longueurs (resp. le premier nombre de Betti) sont des fonctions lipschitziennes (resp. localement constantes) et nous comparons les volumes et les bornes inférieures de la courbure de deux variétés ε0-proches. La méthode s'appuie d'une part sur une estimation de type Bishop (mais sans hypothèse de courbure) du volume des boules, d'autre part sur le calcul d'un ε0 := ε0 (δ,H,D) universel tel qu'une ε0-approximation de Hausdorff (non continue) entre deux espaces X et Y de Mδ,H,D induise un isomorphisme ρ entre les groupes d'automorphismes de leurs revêtements universels et se relève en une ε0-presque-isométrie ρ-équivariante entre ces revêtements (une version de ce résultat valable hors de Mδ,H,D est aussi donnée)