Sur le support unipotent des faisceaux-caractères

Let G be a connected reductive algebraic group with connected centre over a finite field of characteristic p>0. We put on this structure a Frobenius map F and we note G^F the set of the elements of G which are fixed by the action of G : G^F is a finite group. We suppose that the characteristic p is good for G.Then, we define an application Phi_G from the set of the special conjugaison classes of G^* to the set of the unipotent classes of G. This application describes the unipotent support of the different classes of character sheaves defined on G.On the other hand, with the Springer correspondence, we define some invariants, for example the d-invariants, for the characters of a Weyl group W. We have studied the link between the induction of special characters of certain subgroups of W and the d-invariants. With these results, we show that Phi_G, restricted to certain special classes of G^* is surjective. We have also showed that the Frobenius stability can be introduced in this result.We deduced from that two results. The first one is a strong link between the restrictions to the unipotent elements of character sheaves of certain classes and different local irreducible G-equivariant systems on the unipotent classes of G.The second result is a proof of a Kawanaka conjecture on the generalized Gelfand-Graev characters : they constitute a base of the Z-module of the virtual characters of G^F with unipotent support.Soit G un groupe algébrique réductif connexe de centre connexe défini sur un corps fini de caractéristique p>0. On munit cette structure d'un endomorphisme de Frobenius F et l'on note G^F l'ensemble des points de G fixes pour l'action de F : G^F est un groupe fini. On suppose que la caractéristique p est bonne pour G.On définit alors une application Phi_G de l'ensemble des classes de conjugaison spéciales de G^* dans l'ensemble des classes unipotentes de G. Cette application décrit le support unipotent des différentes classes de faisceaux-caractères définis sur G.Parallèlement à cela, via la correspondance de Springer, on définit différents invariants, dont les d-invariants, pour les caractères d'un groupe de Weyl W. Nous avons étudié le lien entre l'induction de caractères spéciaux de certains sous groupes de W et les d-invariants. A l'aide de ceci, on démontre que Phi_G, restreinte à certaines classes spéciales particulières de G^* est surjective. On a montré que la stabilité vis-à-vis du Frobenius pouvait être introduite dans ce résultat.On en déduit deux résultats. Le premier est un lien étroit entre les restrictions aux éléments unipotents de faisceaux-caractères de certaines classes et différents systèmes locaux irréductibles et G-équivariants sur les classes unipotentes de G.Le second est une preuve d'une conjecture de Kawanaka sur les caractères de Gelfand-Graev généralisés de G : ils forment une base du Z-module des caractères virtuels de G^F à support unipotent