Les descentes de Shintani des groupes de Suzuki et de Ree

The thesis is about representation theory of finite reductive groups. Such a group is defined as GF, where G is a reductive connected group over an algebraically closed field of characteristic p>0, and F is an endomorphism such that the fixed point subgroup GF is finite.In this situation, we obtain a family of finite groups, when we replace F by Fm (m is a non-negative integer). This idea isimportant in the general theory of finite reductive groups, as developed by Lusztig. In the case where m=2, F acts as an automorphism on GF2. We can consider the semidirect product of GF2 by F. Then the "Shintani descent" defines an isometry between the space of class functions on the class GF2.F and the class function space of GF. The aim of the thesis is to study this isometry in the case where G is the Suzuki group or the Ree group of type G2, defined by a "very twisted" map F (in the sense that F is not a Frobenius map). The "very twisted" nature of F is the source of a number of problems as far as the general theory is concerned. We thus explicitly compute the table of the values of the class function on the set GF2.F. As applications, we can explicitly determine the eigenvalues associed by Lusztig to the cuspidal unipotent characters of the Suzuki and the Ree group, and the Fourier matrices of these groups. We can verify many conjectures in the modular representation theory: Broue's conjecture, existence of basic set. More generally, the determination of the character tables of cyclic extensions is in the project to compute the character table of all extensions of finite simple groups.La these s'integre dans la theorie des representations d'un groupe reductif fini. Un tel groupe est defini comme GF, ou G est un groupe reductif connexe sur un corps algebriquement clos de caracteristique p>0 et F est un endomorphisme tel que l'ensemble des points fixes GF est fini.Dans cette situation, on obtient une famille de groupes finis en remplacant F par une puissance Fm. Cette idee joue un role important dans la theorie generale des groupes reductifs finis; elle est notamment developpee par Lusztig.Dans le cas ou m=2, F agit comme un automorphisme sur GF2. On peut donc former le produit semi-direct de GF2 par F; la descente de Shintani definit alors une isometrie de l'espace des fonctions centrales sur la tranche GF2.F dans l'espace des fonctions centrales sur GF. Le but de la these est d'etudier cette isometrie dans le cas des groupes de Suzuki et de Ree de type B2 et G2, definis par un endomorphisme F "tres tordu" (dans le sens que F n'est pas un endomorphisme de Frobenius). Ce dernier fait entraine un certain nombre de problemes au niveau de la theorie generale. Nous determinons donc explicitement la table des valeurs des fonctions centrales sur la tranche GF2.F.Comme applications, nous pouvons explicitement determiner les valeurs propres associees par Lusztig aux representations unipotentes cuspidales du groupe de Suzuki et de Ree. Nous pouvons aussi verifier un certain nombre de conjectures dans la theorie des representations modulaires: conjecture de Broue, existence des ensembles basiques. Plus generalement, la determination des tables des caracteres des extensions cycliques rentre dans le projet de determiner les tables des caracteres de toutes les extensions des groupes finis simples