Estimation par ondelettes dans les modèles partiellement linéaires

This dissertation is concerned with the use of wavelet methods in semiparametric partially linear models. These models are composed by a linear component with unknown regression coefficients and an unknown nonparametric function. The aim is to estimate both of the predictors, possibly under the presence of correlation. A wavelet thresholding based procedure is built to estimate the nonparametric part of the model using a penalized least squares criterion. We establish a connection between different thresholding schemes and M-estimators in linear models with outliers, where the wavelet coefficients of the nonparametric part of the model are considered as outliers. We also propose an estimate for the noise variance. Some asymptotic results of the estimates of both the parametric and the nonparametric part are given. Their behavior is close to optimality, up to a logarithmic factor, under usual restrictions for the correlation between variables. Simulations illustrate the properties of the proposed methodology and compare it with existing methods. An application to real data from functional IRM is also presented. The last part of this work deals with the extension to nonequidistant observations for the nonparametric part, comparing in particular via simulations nonparametric estimation procedures.L'objet de cette thèse est d'apporter une contribution à l'inférence dans les modèles partiellement linéaires en appliquant des méthodes d'estimation adaptative par ondelettes. Ces modèles de régression semi-paramétriques distinguent des relations linéaires et des relations fonctionnelles, non paramétriques. L'inférence statistique consiste à estimer conjointement les deux types de prédicteurs, en prenant en compte leur possible corrélation. Une procédure des moindres carrés pénalisés permet d'introduire une estimation par ondelettes avec seuillage des coefficients de la partie fonctionnelle. Un parallèle est établi avec une estimation du paramètre de régression par des M-estimateurs usuels dans un modèle linéaire, les coefficients d'ondelettes de la partie fonctionnelle étant considérés comme des valeurs aberrantes. Une procédure d'estimation de la variance du bruit est aussi proposée. Des résultats relatifs aux propriétés asymptotiques des estimateurs de la partie linéaire et de la partie non paramétrique sont démontrés lorsque les observations de la partie fonctionnelle sont réalisées en des points équidistants. Sous des restrictions usuelles de corrélation entre les variables explicatives, les résultats sont presque optimaux (à un logarithme près). Des simulations permettent d'illustrer les comportements des estimateurs et de les comparer avec d'autres méthodes existantes. Une application sur des données d'IRM fonctionnelle a aussi été réalisée. Une dernière partie envisage le cadre d'un plan d'observation aléatoire de la partie fonctionnelle