Estimation non paramétrique et problèmes inverses

Nonparametric estimation problemsfor inverse models consist in recovering an unknown function fromthe observation of a linear ill posed transformation of thefunction, blurred by an additive random error. In this context,wavelet methods are very useful and have been widely studied. Theestimators developed in this thesis are significantly influencedby them, but also stray from decompositions in "classical" waveletbases, which allows new theoretical and practical developments. Ina main part of the thesis, one focuses on a white noise typemodel. One develops estimators using bases which, on the one handare adapted to the operator of the problem, and on the other handpossess wavelet type properties. One investigates the theoreticalproperties of such methods in a wide minimax framework, as well astheir numerical performances, by a simulation study. In the lastpart of the thesis, one focuses on the model of regression inrandom design, and one investigates the numerical performances ofan estimator based on the "warping" of wavelet bases.On se place dans le cadre del'estimation non paramétrique pour les problèmes inverses, où unefonction inconnue subit une transformation par un opérateurlinéaire mal posé, et où l'on en observe une version bruitée parune erreur aléatoire additive. Dans ce type de problèmes, lesméthodes d'ondelettes sont très utiles, et ont été largementétudiées. Les méthodes développées dans cette thèse s'eninspirent, mais consistent à s'écarter des bases d'ondelettes"classiques", ce qui permet d'ouvrir de nouvelles perspectivesthéoriques et pratiques. Dans l'essentiel de la thèse, on utiliseun modèle de type bruit blanc. On construit des estimateursutilisant des bases qui d'une part sont adaptées à l'opérateur, etd'autre part possèdent des propriétés analogues à celles desondelettes. On en étudie les propriétés minimax dans un cadrelarge, et l'on implémente ces méthodes afin d'en étudier leursperformances pratiques. Dans une dernière partie, on utilise unmodèle de regression en design aléatoire, et on étudie lesperformances numériques d'un estimateur reposant sur ladéformation des bases d'ondelettes