Analyse et contrôle des systèmes dynamiques polynomiaux

This thesis presents a study of polynomial dynamical systems motivated by both thewide spectrum of applications of this class (chemical reaction models, electrical modelsand biological models) and the difficulty (or inability) of theoretical resolutionof such systems.In a first preliminary part, we present multivariate polynomials and we introducethe notion of polar form of a polynomial (blossoming) and Bernstein polynomialswhich will be of great interest thereafter.In a second part, we consider the polynomial optimization problem said POP.We first describe existing methods allowing us to solve or approximate the solution5TABLE DES MATI`ERES 6of such problems. Then, we present two linear relaxations based respectively on theblossoming principle and the Bernstein polynomials allowing us to approximate theoptimal value of the POP.The last part of the thesis is devoted to applications of the two relaxation methodsin the context of polynomial dynamical systems. A first application is in thecontext of reachability analysis. In fact, we use our Bernstein relaxation in order tobuild an algorithm allowing us to approximate the reachable sets of a discretizedpolynomial dynamical system. A second application deals with the verification andthe computation of invariants for polynomial dynamical systems. A third applicationconsists in calculating a controller and an invariant for a polynomial dynamicalsystem subject to disturbances. For the invariance problem, we use the relaxationbased on the blossoming principle. Finally, the last application consists in exploitingthe main properties of the polar form in order to study polynomial dynamicalsystems in rectangles.Cette thèse présente une étude des systèmes dynamiques polynomiaux motivée à la fois par le grand spectre d'applications de cetteclasse (modèles de réactions chimiques, modèles de circuits électriques ainsi que les modèles biologiques) et par la difficulté (voire incapacité)de la résolution théorique de tels systèmes. Dans une première partie préliminaire, nous présentons les polynômes multi-variés et nous introduisons les notions de forme polaire d'un polynôme (floraison) et de polynômes de Bernstein qui seront d'un grand intérêt par la suite. Dans une deuxième partie, nous considérons le problème d'optimisation polynomial dit POP. Nous décrivons dans un premier temps les principales méthodes existantes permettant de résoudre ou d'approcher la solution d'un tel problème. Puis, nous présentons deux relaxations linéaires se basant respectivement sur le principe de floraison ainsi que les polynômes de Bernstein permettant d'approcher la valeur optimale du POP. La dernière partie de la thèse sera consacré aux applications de nos deux méthodes de relaxation dans le cadre des systèmes dynamiques polynomiaux. Une première application s'inscrit dans le cadre de l'analyse d'atteignabilité: en effet, on utilisera notre relaxation de Bernsteinpour pouvoir construire un algorithme permettant d'approximer les ensembles atteignables d'un système dynamique polynomial discrétisé. Une deuxième application sera la vérification et le calcul d'invariants pour un système dynamique polynomial. Une troisième application consiste à calculer un contrôleur et un invariant pour un système dynamique polynomial soumis à des perturbations. Dans le contexte de l'invariance, on utilisera la relaxation se basant sur le principe de floraison.Enfin, une dernière application sera d'exploiter les principales propriétés de la forme polaire pour pouvoir étudier des systèmes dynamiques polynomiaux dans des rectangles