Linear structures in the theory of domains of existence

Seja U um domínio de existência de um espaço localmente convexo. O principal objetivo da tese é estudar o conjunto E(U) constituído pelas funções holomorfas f : U --> C tais que U é o domínio de existência de f. Mais especificamente, é verificado que sob certas condições o conjunto E(U) contém variadas estruturas algébricas. Ressalta-se que a meta não é apenas demonstrar a existência de diferentes estruturas lineares/algébricas inseridas em E(U), mas também constatar que essas estruturas são em certo sentido "grandes''. Num primeiro momento o estudo é centrado nas funções holomorfas definidas em abertos de um espaço de Banach separável. Posteriormente, sairemos do contexto de espaços de Banach para iniciarmos o estudo das funções holomorfas definidas em abertos de espaços DFC, os quais se restringirão àqueles espaços da forma E = F'_c com F espaço de Fréchet separável.Let U be a domain of existence of a locally convex space. In this thesis we study the set E(U) of all holomorphic functions f : U --> C such that U is the domain of existence of f. More specifically, we will see that under some hypotheses there are several algebraic structures inside the set E(U). Our goal is not only to prove the existence of distinct linear/algebraic structures in E(U), but also to show that these structures are in some way "large''. First we study the algebra of the holomorphic functions whose domains are open subsets of separable Banach spaces. Next we investigate the algebra of the holomorphic functions whose domains are open subsets of DFC spaces, which are in turn restricted to spaces of the form E = F'_c with F a separable Fréchet space