Fonctions bosses et extensions lipschitziennes optimales dans les espaces de Banach

La première partie de la thèse est consacrée aux fonctions bosses dans les espaces de Banach. Dans un espace dual séparable, on donne des conditions de liaisons assurant qu'une partie est l'image de la dérivée d'une fonction bosse continûment différentiable. Ces résultats dépendent de la dimension de l'espace ainsi que de la nature topologique de la partie considérée. On montre ensuite que l'ensemble des dérivées d'une fonction bosse à dérivée höldérienne vérifie une condition géométrique d'aplatissement et une condition de précompacité forte relativement à une distance appropriée. Enfin, l'image de la dérivée de b est l'adhérence de son intérieur si b est une bosse deux fois continûment différentiable sur le plan euclidien. Dans la seconde partie on étudie les extensions lipschitziennes optimales. En dimension finie ce problème d'optimisation est lié à la théorie des solutions de viscosité de l'équation aux dérivées partielles du laplacien infini. On étend ce résultat à la dimension infinie, puis on prouve l'existence des extensions lipschitziennes optimales. Un théorème partiel d'unicité en dimension infinie est alors énoncé, ainsi qu'une inégalité de Harnack. On présente enfin un critère de différentiabilité pour les fonctions lipschitziennes.BORDEAUX1-BU Sciences-Talence (335222101) / SudocSudocFranceF