Construction and multifractal analysis of random functions and their graphs

Cette thèse est consacrée à la construction et l'analyse multifractale de fonctions aléatoires et de leurs graphes. La construction de ces objets se fait dans le cadre de la théorie des $\mathbf{T}$-martingales de Kahane, et plus spécifiquement des $[0,1]$-martingales. Cette théorie est fréquemment utilisée pour construire des martingales à valeurs dans les mesures de Borel positives dont la limite soit presque sûrement singulière par rapport à la mesure de Lebesgue. Ceci se fait en perturbant cette dernière à l'aide d'une suite de densités aléatoires qui sont des martingales positives d'espérance $1$. Ici, nous autorisons ces martingales à prendre des valeurs complexes, et plutôt que des martingales à valeurs dans les mesures, nous considérons des martingales à valeurs dans les fonctions continues à valeurs complexes, puis la question de leur convergence uniforme presque sûre. Nous obtenons une condition suffisante de convergence pour les éléments d'une large classe de $[0,1]$-martingales complexes. Les limites non dégénérées sont toutes candidates à être des fonctions multifractales. L'étude de leur nature multifractale révèle de nouvelles difficultés. Nous la menons de façon complète dans le cas des "cascades $b$-adiques indépendantes" complexes. Ceci conduit à de nouveaux phénomènes. En particulier, nous construisons des fonctions continues statistiquement autosimilaires dont le spectre de singularité est croissant et entièrement supporté par l'intervalle $[0,\infty]$. Nous considérons également de nouveaux spectres de singularité associés au graphe, à l'image, ainsi qu'aux ensembles de niveau d'une fonction multifractale f donnée. Ces spectres s'obtiennent de la façon suivante. Soit $E_h$ l'ensemble iso-Hölder de $f$ associé à l'exposant $h$. Soit $\Gamma_h$ le sous-ensemble du graphe de $f$ obtenu en y relevant $E_h$. Pour tout $h$, on cherche la dimension de Hausdorff de $\Gamma_h$, celle de $f(E_h)$, et celle des ensembles du type $\Gamma_h\cap L^y$, où $L^y$ est l'ensemble de niveau $y$ de $f$. Pour les cascades $b$-adiques indépendantes non conservatives à valeurs réelles, nous obtenons presque sûrement les spectres associés au graphe et à l'image, et pour les spectres associés aux ensembles de niveau, nous obtenons un résultat en regardant des lignes de niveau dans "Lebesgue presque toute direction". Enfin, nous considérons les mêmes questions que précédemment pour une autre classe de foncions aléatoires multifractales obtenues comme séries d'ondelettes pondérées par des mesures de Gibbs. Nous obtenons presque sûrement les spectres associés au graphe et à l'image.This thesis deals with the construction and multifractal analysis of random functions and their graphs. At first, we contribute to Kahane s $\mathbf{T}$-martingale theory by considering complex $[0,1]$-martingales. White until now this is done with positive $[0,1]$-martingales, in particular in order to build singular measures with respect to the Lebesgue, we construct complex continous fuction-valued martingales and consider the question of their almost sure uniform convergence. We get a general sufficient condition for such a convergence to hold for the elements of a large subclass of $ [0,1]$-martingales. All the non-degenerate limit functions are candidates to be multifractal. Their multifractal analysis reveals new difficulties. We conduct this multifractal analysis for complex $b$-adic independent cascade functions . This study leads to new interesting phenomena. In particular, we build statistically self-similar continous functions whose singularity spectrum is left-sided and supported by the whole interval $[0,\infty]$. Further, we consider new singularity spectra associated with the graph, range and level sets of multifractal functions. These spectra consist in calculating the Hausdorff dimension of the iso-H\ older sets put on the graph, range and level sets. For real-valued $b$-adic independent cascade functions, with probability 1, we obtain the graph and range singularity spectra, as well as the level set singularity spectrum in Lebesgue almost every directions , for the so-called non conservative $b$-adic independent cascade functions. Finally, we consider the same question for another class of random mulftifractal functions, namely random wavelet series built from Gibbs measures. Under suitable assumptions, we obtain the graph and range singulary spectra almost surely.ORSAY-PARIS 11-BU Sciences (914712101) / SudocSudocFranceF