Lois gaussiennes inverses (généralisées), lois de Kummer et méthode de Stein

In this thesis, we make a contribution to the study of the properties of the generalized inverse Gaussian and Kummer distributions in the context of Stein's method. This is to contribute to establishing the mathematical tools necessary for the application of Stein's method to the case where the target law is one of the two aforementioned laws, on the one hand, and to applying Stein's method to give a bound of the rate of convergence in some limit theorems involving these two laws, on the other hand. We retrieve the Stein operator of each of these two laws, solve the corresponding differential equation and bound the solution obtained as well as its successive derivatives (for the derivatives, the bound is not always explicit but is established by an iterative technique). The techniques used to obtain the bounds of the solution and of its derivatives are essentially based on the fact that these two laws belong to the family of probability laws whose density g satisfies the differential equation (s(x)g(x))^'=τ(x)g(x) where s and τ are polynomial functions satisfying certain conditions. By Stein's method, we establish a bound for the rate of convergence of the generalized inverse Gaussian and Kummer distributions to the gamma distribution, of the generalized hyperbolic distribution to the generalized inverse Gaussian distribution and a sequence of random variables to the reciprocal inverse Gaussian distribution. Our approach in estimating these rate of convergence by Stein's method is essentially based on the fact that the law of the sequence of random variables considered and the limit law are involved in a convolution relation.Dans cette thèse, nous apportons une contribution à l'étude des propriétés des lois gaussiennes inverses généralisées et de Kummer dans le contexte de la méthode de Stein. Il s'agit d'une part de contribuer à la mise en place des outils mathématiques nécessaires à l'application de la méthode de Stein au cas où la loi cible est l'une des deux lois précitées, d'autre part, d'appliquer la méthode de Stein pour donner une borne de la vitesse de convergence dans des théorèmes limites impliquant ces deux lois. Nous retrouvons l'opérateur de Stein de chacune de ces deux lois, résolvons l'équation différentielle correspondante et bornons la solution obtenue ainsi que ses dérivées successives (les bornes des dérivées ne sont pas toujours explicites mais obtenues par une méthode itérative). Les techniques utilisées pour obtenir les bornes de la solution et de ses dérivées sont essentiellement basées sur le fait que ces deux lois appartiennent à la famille de lois de probabilité dont la densité g vérifie l'équation différentielle (s(x)g(x))^'=τ(x)g(x) avec s et τ des fonctions polynômes satisfaisant certaines conditions. Par la méthode de Stein, nous établissons une borne pour la vitesse de convergence des lois gaussiennes inverses généralisées et de Kummer vers la loi gamma, de la loi hyperbolique généralisée vers la loi gaussienne inverse généralisée et d'une suite de variables apparaissant dans un contexte de résistances aléatoires vers la loi gaussienne inverse réciproque. Notre démarche dans l'estimation de ces vitesses de convergence par la méthode de Stein est basée essentiellement sur le fait que la loi de la suite de variables aléatoires considérées et la loi limite sont impliquées dans une relation de convolution