A ring of Gaussian integers and applications

Prsten Gaussovih cijelih brojeva \(\mathbb{Z} [i]\)generalizacija je prstena cijelih brojeva \(\mathbb{Z}\). Kao takvi, Gaussovi cijeli brojevi zadržali su većinu svojstava cijelih brojeva. U \(\mathbb{Z} [i]\) imamo faktorizaciju \( x^2+y^2=(x+yi)(x-yi) \), i=\(\sqrt{-1} \). Kroz svojstva invertibilnosti i dijeljenja iskazuje se i dokazuje modificirani teorem o dijeljenju s ostatkom u \(\mathbb{Z}\) koji nam pomaže u dokazivanju teorema o dijeljenju s ostatkom u \(\mathbb{Z} [i]\). Kroz primjere vidi se upotreba Euklidovog algoritma pri odredivanju najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju Gaussovih cijelih brojeva. Upotrebom Bezoutovog teorema pokazali smo da su \(\alpha, \beta \in \mathbb{Z} [i]\) relativno prosti ako je \(\alpha x + \beta y\) = 1 za neke \(x; y \in \mathbb{Z} [i]\) .Govorili smo o prostim Gaussovim cijelim brojevima. Dokazali smo koristan teorem o prepoznavanju prostih brojeva u \(\mathbb{Z} [i]\) ,koji nam govori da ako je norma Gaussovog cijelog broja prost broj u \(\mathbb{Z}\), da je tada taj Gaussov cijeli broj prost u \(\mathbb{Z}[i]\). Također, pokazali smo da je prikaz Gaussovih cijelih brojeva u obliku produkta prostih Gaussovih cijelih brojeva jedinstven do na permutacije i množenje faktora invertibilnim elementima. Za kraj, govorilo se o primjenama Gaussovih cijelih brojeva. Posebno, pomoću Gaussovih cijelih brojeva dokazali smo neke tvrdnje o prostim brojevima, opisali (primitivne) Pitagorine trojke i proučavali cjelobrojna rješenja jednadžbi \(a^2 + b^2 = c^3\) i \(y^2 + 1 = x^3\).The ring of Gaussian integers \(\mathbb{Z} [i]\) is a generalization of the ring \(\mathbb{Z}\). As such, Gaussian integers kept most of characteristics of integers. In \(\mathbb{Z} [i]\) we have factorization \( x^2+y^2=(x+yi)(x-yi) \), i=\(\sqrt{-1} \).. Through the properties of invertibility and division, we proved the modified division theorem which helped us prove the division theorem in \(\mathbb{Z} [i]\). Through examples we saw the use of Euclidean algorithm in finding the greatest common divisor of two Gaussian integers. With the help of Bezout’s theorem we showed that \(\alpha, \ beta \in \mathbb{Z} [i]\) are relatively prime if and only if \(\alpha x + \beta y\) = 1 for some \(x; y \in \mathbb{Z} [i]\). We have talked about primes in \(\mathbb{Z} [i]\). Also, we proved a theorem about recognizing primes in \(\mathbb{Z} [i]\) which tells that if the norm of a Gaussian integer is prime in \(\mathbb{Z}\), then this Gaussian integer is prime in \(\mathbb{Z} [i]\). Moreover, we have shown the unique factorization into primes of the Gaussian integers. At the end, we talked about applications of Gaussian integers. We used Gaussian integers to prove a few claims on primes in Z, describe the (primitive) Pythagorean triples and study the integer solutions of equations \(a^2 + b^2 = c^3\) i \(y^2 + 1 = x^3\)