On enhanced area laws of the entanglement entropy

In many-body systems the extent and range of spatial quantum correlations induced by entanglement provide a great deal of information about several qualitative physical properties. One way of studying this information is to examine the scaling behaviour of the ground state entanglement entropy with respect to a scaled version of a distinguished spatial subregion. In various systems the entanglement entropy grows proportionally to the surface area of the subregion which is referred to as an area law. In this thesis we examine the connection between the scaling behaviour of the entanglement entropy and many-body localisation. In recent years it was show that a number of systems, which are known to be in the localised phase, exhibit area laws of the entanglement entropy. It is commonly expected that the entanglement entropies of delocalised ground states do not satisfy area laws, though not many examples of different scaling behaviours have been shown, yet. The aim of this thesis is to provide further examples of violations of area laws in the context of delocalised systems. In three different models we show that the entanglement entropy of the ground states grows at least like a logarithmically enhanced area law. The first part of this thesis, based on joint work with P. Müller and L. Pastur [MPS20], considers the random dimer model. Even though this non-interacting, one-dimensional model is spectrally localised, there exist critical points in its spectrum at which the localisation length diverges. We consider the ground state corresponding to a Fermi energy positioned at one of these critical energies. In the case of small disorder we show a logarithmic lower bound to the expectation of the entanglement entropy. Moreover, we proof a logarithmic lower bound to the finite-volume entanglement en- tropy at these critical points for any disorder strength. In the second part of this thesis, which is based on joint work with P. Müller [MS20], we consider a multi-dimensional continuum Schrödinger operator, which is given by a perturbation of a negative Laplacian by a compactly supported, bounded potential. We establish both an upper and a lower bound to the entanglement entropy corresponding to a positive Fermi energy. These bounds prove that the scaling behaviour of the entanglement entropy is a logarithmically enhanced area law. This is the same scaling behaviour as the one occurring in the case of free fermions, one of the few delocalised systems for which an asymptotic expansion of the entanglement entropy is known. Finally, in the third and last part, based on joint work with C. Fischbacher [FS20], we consider the finite XXZ spin chain with periodic boundary conditions in the Ising phase. We show that for each eigenvalue in the droplet band there exists at least one eigenvector such that the corresponding entanglement entropy grows at least logarithmically, provided the anisotropy parameter ∆ is sufficiently large. In addition, we show a Combes–Thomas estimate for this model, which may be of independent interest.In Vielteilchensystemen liefert die Reichweite der durch Verschränkung induzierten räumlichen Quantenkorrelationen eine Vielzahl von Informationen über verschiedene physikalische Eigenschaften. Eine Möglichkeit, diese Informationen zu untersuchen, ist die Betrachtung des Skalierungsverhaltens der Verschränkungsentropie des Grundzustandes in Bezug auf eine skalierte Version eines räumlichen Gebietes. In vielen Systemen wächst die Verschränkungsentropie proportional zur Oberflä̈che des Gebietes, was als Oberflächengesetz bezeichnet wird. In dieser Arbeit untersuchen wir den Zusammenhang zwischen dem Skalierungsverhalten der Verschränkungsentropie und Vielteilchenlokalisierung. In den letzten Jahren konnte gezeigt werden, dass eine Reihe von Systemen, von denen bekannt ist, dass sich ihr Grundzustand in der lokalisierten Phase befindet, Oberflächengesetze der Verschränkungsentropie aufweisen. Auf der anderen Seite wird allgemein angenommen, dass die Verschra ̈nkungsentropie von delokalisierten Grundzuständen nicht einem Oberflächengesetz genügt. Allerdings gibt es nur wenige Beispiele, für die ein abweichendes Skalierungsverhalten bereits gezeigt wurde. Ziel dieser Arbeit ist es, weitere Beispiele für solche Abweichungen von Oberflächengesetzen der Verschränkungsentropie im Zusammenhang mit delokalisierten Systemen zu liefern. In drei verschiedenen Modellen zeigen wir, dass die Verschränkungsentropie des Grundzustandes zumindest ein logarithmisch erweitertes Oberflächengesetz aufweist. Der erste Teil dieser Dissertation, welcher auf einer gemeinsamen Arbeit mit L. Pastur und P. Müller [MPS20] basiert, befasst sich mit dem zufälligen Dimer-Modell. Obwohl dieses nicht-interagierende, eindimensionale Modell spektral lokalisiert ist, gibt es kritische Punkte in dem Spektrum, an denen die Lokalisierungslänge divergiert. Im Falle von geringer Unordnung wird in dieser Arbeit eine logarithmische Untergrenze für den Erwartungswert der Verschränkungsentropie gezeigt. Darüber hinaus wird für eine beliebige Unordnungsstärke eine logarithmische Untergrenze an die Verschränkungsen- tropie für endliche Volumen an diesen kritischen Punkten bewiesen. Im zweiten Teil dieser Arbeit, welcher auf einer gemeinsamen Arbeit mit P. Müller [MS20] basiert, betrachten wir einen mehrdimensionalen, kontinuierlichen Schrödinger-Operator, der durch die Störung eines negativen Laplace-Operators durch ein kompakt getragenes, beschränktes Potential gegeben ist. Sowohl eine obere als auch eine untere Grenze für die Verschränkungsentropie zu einer positiven Fermi-Energie wird gezeigt. Diese Schranken beweisen, dass das Skalierungsverhalten der Verschra ̈nkungsentropie einem logarithmisch erweiterten Oberfl ̈achengesetz entspricht. Dies ist das gleiche Skalierungsverhalten, das auch bei freien Fermionen auftritt. Das Modell der freien Fermionen ist eines der wenigen delokalisierten Systeme, für die eine asymptotische Entwicklung der Verschränkungsentropie bekannt ist. Im dritten und letzten Teil wird, basierend auf einer gemeinsamen Arbeit mit C. Fischbacher [FS20], die endliche XXZ-Spinkette mit periodischen Randbedingungen in der Ising-Phase betrachtet. Dieses Modell hat aufgrund seiner Translationsinvarianz delokalisierte Eigenzustände. Wir zeigen, dass für jeden Eigenwert im Droplet-Band mindestens ein Eigenvektor existiert, sodass die zugehörige Verschränkungsentropie mindestens logarithmisch anwächst. Für dieses Resultat setzen wir voraus, dass der Anisotropie-Parameter ∆ ausreichend groß ist. Zusätzlich dazu zeigen wir eine Combes–Thomas-Abschätzung für dieses Modell, was für sich genommen ebenfalls von Interesse ist