Geometria nieprzemienna i supersymetria

Geometria nieprzemienna to dziedzina matematyki z możliwymi zastosowaniami w fizyce cząstek elementarnych, jednakże niewiele prób połączenia jej z supersymetrią było podjętych do tej pory. W tej pracy zaprezentowano nowe podejście do tego zagadnienia.Na początku przedstawiono podstawowe pojęcia geometrii riemannowskiej i rozmaitości spino\-wych. Następnie wyjaśniono, w jaki sposób odpowiadają one kanonicznej trójce spektralnej oraz wprowadzono definicję trójki spektralnej -- ważnego obiektu w geometrii nieprzemiennej. Skoń\-czone trójki spektralne i ich istniejąca klasyfikacja zostały omówione. Wreszcie, zwięźle opisano ich zastosowanie w teoriach z nieabelowym cechowaniem.Po krótkim wstępie do supersymetrii, zaprezentowano autorską część pracy, łączącą supersymetrię z geometrią nieprzemienną. Znana wcześniej konstrukcja „pierwiastka” operatora Diraca, nazywana przez nas „faktoryzacją”, została powtórzona dla euklidesowej czasoprzestrzeni i szczegółowo zanalizowano wynikające z niej równania. Następnie przeprowadzono faktoryzację dla nieprzemiennego (dokładniej: prawie przemiennego) operatora Diraca, w wyniku czego otrzymano związek między skończonymi operatorami Diraca, pojawiającymi się w geometrii nieprzemiennej, a rozszerzoną supersymetrią z nietrywialnymi ładunkami centralnymi.Noncommutative geometry (NCG) is a branch of mathematics with possible applications in particle physics. However, not many attempts to combine it with supersymmetry have been made yet. In this thesis a new approach to this problem is introduced.At first, basic notions of Riemannian geometry and spin manifolds are presented. Then it is explained how they correspond with the canonical spectral triple and the definition of general spectral triple, important object in NCG, is introduced. Finite spectral triples and their existing classification are discussed. Finally, their application in non-abelian gauge theories is briefly described.After a short introduction to supersymmetry, original work connecting SUSY with NCG is presented. The previously known construction of a "square root" of the Dirac operator, which we call "factorization", is repeated for the Euclidean spacetime and the resulting equations are analyzed in great detail. Then, the factorization is performed for noncommutative (specifically: almost-commutative) Dirac operator, resulting with a connection between finite Dirac operators appearing in NCG and extended supersymmetry with nontrivial central charges