Hyperbolic geometry

Celem pracy jest przedstawienie jednej z geometrii nieeuklidesowych, tj. geometrii hiperbolicznej. Wybrane twierdzenia maja służyć przybliżeniu właściwości geometrii hiperbolicznej, a zwłaszcza aspektów odróżniających ją od geometrii euklidesowej.W pierwszym rozdziale zdefiniowana została rozważana geometria, jak również pojęcia z nią powiązane. Następnie wprowadzone zostały twierdzenia dotyczące własności trójkątów (w tym trójkątów asymptotycznych), kątów równoległości i czworokątów (w szczególności czworokątów Khayyama - Saccheriego i Lamberta.) Na zakończenie został poruszony temat równoległości, m.in udowodnione zostało uniwersalne twierdzenie hiperbolicznej i twierdzenie o klasyfikacji prostych równoległych.The aim of this thesis is to introduce one of the Non - Euclidean geometries, i.e. hyperbolic geometry. The selected theorems serve to exemplify the properties of hyperbolic geometry with emphasis on the aspects which distinguish it from the Euclidean geometry.The definitions of the hyperbolic geometry and some concepts related to it were included in the first chapter. In the next step, theorems concerning properties of triangles (including asymptotic triangles), angles of parallelism and quadrilaterals (in particular Khayyam - Saccheri and Lambert quadrilaterals) were presented. Lastly, the subject of parallelism was raised. The universal hyperbolic theorem and the theorem about classification of the parallels were proved, among others