Sur l’auto-assemblage de pavages octogonaux plans de type fini

Self-assembly is the process in which the components of a system, whether molecules, polymers, or macroscopic particles, are organized into ordered structures as a result of local interactions between the components themselves, without exterior guidance. This thesis is devoted to the self-assembly of aperiodic tilings. Aperiodic tilings serve as a mathematical model for quasicrystals - crystals that do not have any translational symmetry. Because of the specific atomic arrangement of these crystals, the question of how they grow still remains open. Our aim is to develop a growth algorithm for a particular class of aperiodic tilings - octagonal tilings of finite type. In order to mimic the growth of real-world quasicrystals, we demand the algorithm be local: the tiles must be added one by one, using only the local information and no data must be stored between the steps. Simulations strongly support the evidence that this algorithm grows aperiodic tilings, up to an unavoidable but neglectable proportion of missing tiles.L'auto-assemblage est le processus dans lequel les composants d'un système, qu'il s'agisse de molécules, de polymères, de colloïdes ou de particules macroscopiques, s'organisent en structures ordonnés à la suite d'interactions locales entre les composants eux-mêmes, sans intervention extérieure. Cette thèse concerne l'auto-assemblage de pavages apériodiques. Les pavages apériodiques (le pavage Penrose en est un exemple célèbre) servent de modèle mathématique pour les quasi-cristaux - les cristaux qui n'ont pas la symétrie de translation. En raison de la disposition atomique spécifique de ces cristaux, la question de savoir comment ils se forment reste toujours sans réponse. L'objectif de cette thèse est de développer un algorithme de croissance pour une classe particulière de pavages apériodiques - les pavages octogonaux de type fini. Afin d'imiter la croissance de quasi-cristaux réels, nous demandons que l'algorithme soit local: les pièces doivent être ajoutées une par une, en utilisant uniquement les informations locales et aucune donnée ne doit être stockée entre les étapes. Les simulations corroborent la conjecture que l'algorithme que nous avons mis au point permet de former des pavages apériodiques, modulo une proportion inévitable mais négligeable de pavés manquants