A new method to generate quasicrystalline structures : examples in 2D tilings

We present a new algorithm for the generation of quasicrystalline structures. It is related to the cut and projection method, but allows a direct generation of the structure in the « physical » space E. The orthogonal space site selection is replaced by a direct check in a periodic array of « acceptance » regions in E. This method shows that there is a sort of underlying crystalline lattice in quasicrystals. We illustrate the construction in the 4D-2D cases with the 5-, 8-, 10- and 12-fold symmetries which can be obtained by projection from 4D to 2D. Using this new method we also generate quasicrystals with a lower symmetry which have simple mean lattices. We present for instance a quasicrystal with a 4-fold symmetry. The points of this quasicrystal are a subset of the quasicrystal which has the whole 8-fold symmetry.Nous présentons un nouvel algorithme pour la génération des structures quasi-cristallines. Il est relié à la méthode de coupe et projection, mais il permet une génération directement dans l'espace « physique » E de la structure. La sélection des sites dans l'espace orthogonal est remplacée par un test directement dans une grille de domaines d'acceptance dans l'espace E. Cette méthode montre qu'il y a une sorte de réseau cristallin sous-jacent au quasi-cristal. Nous illustrons la construction dans le cas 4D-2D avec les symétries d'ordre 5, 8, 10 et 12 qui sont obtenues par projection de 4D à 2D. Par la même méthode d'autres types de quasicristaux avec une symétrie plus basse, ayant un réseau moyen, sont construits. Nous présentons un exemple de symétrie 4. Les points de ce quasi-cristal sont un sous-ensemble des points du quasi-cristal ayant la symétrie complète d'ordre 8