Äärellisesti määrättyjen modulien homologista algebraa

Tutkielman tarkoitus on käsitellä klassista porrastettujen modulien homologista algebraa sen verran, että tutkielman lopulla on mahdollista esittää modernimpaa homologisen algebran kehittymistä topologiseksi data-analyysiksi kutsuttavalla matematiikan alalla. Tutkielman alussa esitellään tarvittava peruskäsitteistö ja kerrataan kommutatiivisen algebran ja homologisen algebran oleellisia käsitteitä, kuten injektiiviset ja projektiiviset porrastetut modulit. Esimerkkinä määritellään affiinit puoliryhmärenkaat ja modulit näiden yli. Seuraavaksi tutkielmassa siirrytään tarkastelemaan lähemmin porrastettujen injektiivisten modulien rakennetta. Erityisesti tutustutaan injektiivisiin verhoihin ja näiden avulla määritetään porrastettujen injektiivisten modulien rakenne. Syntynyttä teoriaa sovelletaan moduleihin yli affiinien puoliryhmärenkaiden. Tullaan käsittelemään homologisia dimesioita, jotka ovat porrastettujen resoluutioiden pituuteen liittyviä invariantteja. Lisäksi tutustutaan homologisiin dimensioihin liittyviin Bassin ja Bettin lukuihin sekä todistetaan kuuluisa Hilbertin Syzygilause. Tämän jälkeen tutkielmassa siirrytään topologisen data-analyysin puolelle. Avainasemassa ovat äärellisesti määrätyt Zn-modulit, joiden merkittävyydestä topologisessa data-analyysissä kertoo näihin moduleihin liittyvä Syzygilause. Viimeinen luku tarjoaa tämän uudemman Syzygilauseen todistamiseen tarvittavan käsitteistön. Erityisesti tutkitaan Čechin verhoa ja Zn-modulien laakea-injektiivistä esitystä