Künnethin kaava tulokohomologialle

Tutkielma keskittyy algebralliseen topologiaan ja vielä tarkemmin homologian ja kohomologian tutkimiseen. Tutkielman tavoite on todistaa Künnethin kaava tulokohomologialle, jota varten ensin esitellään homologia ja siitä johdettuna dualisaation kautta kohomologia. Homologia ja kohomologia tutkielmassa esitellään singulaarisessa muodossa. Johdannon jälkeen tutkielma aloitetaan esittelemällä kategoriateorian perusteet. Kategoria kappaleessa annetaan esimerkkejä kategorioista, joita käytetään pitkin tutkielmaa. Kategoria käsitteen esittelyn jälkeen jatketaan määrittelemään kuvaus jolla pystytään siirtymään kategoriasta toiseen eli funktorit. Funktorit jaetaan kovariantteihin ja kontravariantteihin riippuen siitä säilyttääkö se morfismien suunnan. Funktoreista esille nostetaan Hom-funktori, jonka kontravarianttia muotoa hyödyntämällä saadaan myöhemmin muodostettua kohomologia. Funktoreiden käsittelyn myötä pystytään niiden välille muodostamaan kuvauksia, jonka vuoksi esitellään luonnollinen transformaatio. Toisen luvun viimeisimpänä aihealueena käsitellään eksakteja jonoja. Toinen kappale kokoaa tarvittavat esitiedot, jotta voidaan siirtyä käsittelemään homologiaa ja kohomologiaa. Kolmas kappale käy läpi homologian ja kohomologian käsitteistöä. Homologia ja kohomologia esitellään pääasiassa singulaarisessa muodossa. Homologiasta käydään läpi peruskäsitteet, jonka jälkeen siirrytään singulaariseen homologiaan. Tässä yhteydessä määritelmään muun muassa simpleksi, jotta voidaan avata singulaarisen homologian perusteita. Singulaarisesta homologiasta edetään singulaariseen kohomologiaan, joka saadaan aiemmin esitellyn Hom-funktorin avulla homologiasta. Singulaarisen kohomologia kappaleen lopuksi esitellään vielä uusi laskutoimitus kohomologiaryhmille eli kuppitulo. Tutkielman viimeinen kappale käsittelee itse Künnethin kaavan ja sen todistuksen. Lisäksi käydään läpi muita tarvittavia esitietoja kaavan todistuksen ymmärtämiselle, jotka eivät ole vielä nousseet esille aikaisemmissa luvuissa. Tutkielma päättyy Künnethin kaavan todistukseen