An Exploration of Galois Theory with some Classical Results

Galois theory unites field theory and group theory to solve some field theoretical problems. The aim of this thesis is to provide a concise introduction to the topic, culminating in the proof of the insolubility of the general quintic equation by radicals. Using the developed field theory, a short discussion about geometric constructions is included, in which the impossibility of duplicating the cube, trisecting the angle and squaring the circle is shown.Målet med denna uppsats är att bidra med en koncis introduktion till ämnet Galoisteori som kulminerar i ett bevis för olösbarheten av den generella femtegradsekvationen med radikala uttryck. Vidare används den kroppteori som behandlats till att kortfattat diskutera geometriska konstruktioner, där omöjligheten av kubens fördubbling, vinkelns tredelning och cirkelns kvadratur bevisas. Innehållet och upplägget är baserat på en populär lärobok i ämnet av Ian Stewart. Uppsatsen är huvudsakligen riktad till personer som tagit del av en första kurs i modern algebra och fungerar som en strömlinjeformad genomgång av grundläggande Galoisteori utan exempel eller uppgifter. De nutida tillämpningarna av Galoisteori är få men historiskt har ämnets utveckling varit av stor betydelse. Ämnet har fått sitt namn från fransmannen Évariste Galois som i början av 1830-talet presenterade ett nytt tillvägagångssätt i hanteringen av ekvationers lösbarhet där han använde konceptet han kallade för "groupe". Han lade på så sätt grunden till vad som idag kallas gruppteori, som inte bara varit av stor betydelse för vidareutvecklingen av flera matematiska studieområden såsom algebraisk topologi och algebraisk geometri, utan även för tillämpningsområden såsom fysik, kemi och materialvetenskap