The unsolvability of the quintic: an insight into Galois theory

Desde la época de los babilonios, hace miles de años, ya se conocían soluciones para las ecuaciones cuadráticas. En el siglo XVI, los matemáticos desarrollaron fórmulas para la ecuación general cúbica. Poco después, también se encontraron fórmulas para la cuártica. No obstante, en el siglo XIX, Abel y Ruffini demostraron finalmente que no existe una fórmula para las soluciones de una ecuación polinómica general de grado 5 que conste únicamente de operaciones elementales y radicales. Pocos años después, Galois comenzó a desarrollar una nueva rama de las matemáticas, intentando generalizar este resultado, preguntándose cuándo un polinomio podía ser resuelto por radicales. Esto es lo que posteriormente se conocería como teoría de Galois. Nuestro objetivo será responder la misma pregunta que se hizo Galois, desde la perspectiva de la teoría de Galois moderna. Empezando a partir de un conocimiento previo básico sobre anillos de polinomios y teoría de grupos, estudiaremos las propiedades de los polinomios y de las extensiones de cuerpos, para finalmente sumergirnos en los resultados centrales de la teoría de Galois. Al final, seremos capaces de demostrar cuándo exactamente un polinomio es resoluble por radicales, y veremos cómo esto se relaciona directamente con la teoría de grupos.---ABSTRACT---Solutions for quadratic equations have been known for thousands of years since the Babylonians. In the sixteenth century, mathematicians developed formulas for a general cubic equation. Soon after, formulas for the quartic were also found. Nevertheless, in the nineteenth century it was finally shown by Abel and Ruffini that there is no formula for the solutions of a general polynomial equation of degree 5 involving elementary operations and radicals. A few years later, Galois started developing a whole new branch of mathematics, trying to generalize this result, asking when a polynomial could be solved by radicals. This is what we would later know as Galois theory. Our goal will be to answer the same question Galois had, from the perspective of modern Galois theory. Starting from some basic previous knowledge on polynomial rings and group theory, we will study the properties of polynomials and field extensions to eventually dive into the core results of Galois theory. In the end, we will be able to prove when exactly a polynomial is solvable by radicals, and we will see how this directly relates to group theory