Une nouvelle décomposition des éléments aléatoires gaussiens dans les espaces de Banach et application à l'inversion Bayésienne.

L'inférence est une activité fondamentale en sciences et en ingénierie: elle permet de confronter et d'ajuster des modèles théoriques aux données issues de l'expérience. Ces mesures étant finies par nature et les paramètres des modèles souvent fonctionnels, ilest nécessaire de compenser cette perte d'information par l'ajout de contraintes externes au problème, via les méthodes de régularisation. La solution ainsi associée satisfait alors un compromis entre d'une part sa proximité aux données, et d'autre part une forme de régularité.Depuis une quinzaine d'années, ces méthodes intègrent un formalisme probabiliste, ce qui permet la prise en compte d'incertitudes. La régularisation consiste alors à choisir uµe mesure de probabilité sur les paramètres du modèle, expliciter le lien entre données et paramètres et déduire une mise-à-jour de la mesure initiale. Cette probabilité a posteriori, permet alors de déterminer un ensemble de paramètres compatibles avec les données tou en précisant leurs vraisemblances respectives, même en dimension infinie.Dans le cadre de cette thèse, la question de l'approximation de tels problèmes est abordée. En effet, l'utilisation dt lois infini-dimensionnelles, bien que théoriquement attrayante, nécessite souvent une discrétisation pour l'extraction d'information (calcul d'estimateurs, échantillonnage). Lorsque la mesure a priori est Gaussienne, la décomposition de Karhunen-Loève est une réponse à cette question. Le résultat principal de cette thèse est sa généralisation aux espaces de Banach, beaucoup plus naturels et moins restrictifs que les espaces de Hilbert. Les autres travaux déveloonés concernent son utilisation dans des applications avec données réelles.Nferring is a fundamental task in science and engineering: it gives the opportunity to compare theory to experimental data. Since measurements are finite by nature whereas parameters are often functional, it is necessary to offset this loss of information with external constraints, by regularization.The obtained solution then realizes a trade-off between proximity to data on one side and regularity on the other.For more than fifteen years, these methods include a probabilistic thinking, taking uncertainty into account. Regularization now consists in choosing a prior probability measure on the parameter space and explicit a link between data and parameters to deduce an update of the initial belief. This posterior distribution informs on how likely is a set of parameters, even in infinite dimension.In this thesis, approximation of such methods is studied. Indeed, infinite dimensional probability measures, while being attractive theoretically, often require a discretization to actually extract information (estimation, sampling). When they are Gaussian, the Karhunen-Loève decomposition gives a practical method to do so, and the main result of this thesis is to provide a generalization to Banach spaces, much more natural and less restrictive. The other contributions are related to its practical use with in a real-world example