Quasi-stationnarité avec frontières mobiles

This thesis studies the asymptotic behaviors for Markov processes conditioned not to hit moving boundaries. The first chapter deals with this problem for discrete-time Markov chains defined on finite state space considering periodic boundaries. Even if the notions of quasi-stationary distributions and quasi-limiting distributions are not well-defined considering moving boundaries, the existence of a quasi-ergodic distribution and the Q-process are shown. In the second chapter, the previous results are extended to Markov processes satisfying some global inhomogeneous conditions introduced by N. Champagnat and D. Villemonais. In the periodic case, the existence and uniqueness of a quasi-ergodic distribution are proved. When the boundary stabilizes at infinity, we obtain moreover the existence and uniqueness of a quasi-limiting distribution. The third chapter deals with the quasi-stationarity for the "renormalized" Brownian motion absorbed at {-1,1}. The law of this process depends on a parameter K and a phase transition is observed for its quasi-stationarity, whose the critical parameter is equal to 1/2. Finally, the last chapter extend the results obtained in the second chapter to Markov processes satisfying some criteria weaker than the global Champagnat-Villemonais conditions. In particular, we obtain under these conditions a mixing property, the existence of the Q-process and the existence of a quasi-ergodic distribution for some behaviors of the boundary.Cette thèse étudie les comportements asymptotiques de processus de Markov conditionnés à ne pas atteindre de frontières mobiles. Le premier chapitre s'intéresse à cette question pour des chaînes de Markov à temps discret définies sur un espace d'état finie en considérant des frontières périodiques. Si les notions de distributions quasi-stationnaires et de distributions quasi-limites sont mal définies dans ce cas, l'existence de distribution quasi-ergodiques et d'un Q-processus est démontré. Dans le deuxième chapitre, les résultats précédents sont étendues à des processus de Markov satisfaisant des conditions inhomogènes globales introduites par N.Champagnat et D.Villemonais. Dans le cas de frontières périodiques, nous obtenons l'existence et l'unicité d'une distribution quasi-ergodique. Dans le cas où la frontière absorbante se stabilise à l'infini, nous obtenons en plus l'existence et l'unicité d'une distribution quasi-limite. Le troisième chapitre s'intéresse à la quasi-stationnarité du mouvement brownien dit "renormalisé" absorbé en {-1,1}. Ce processus dépend d'un paramètre K et sa quasi-stationnarité présente une transition de phase de paramètre critique égal à 1/2. Enfin, le dernier chapitre étend les résultat du deuxième à des processus satisfaisant des critères plus faible que les conditions globales de Champagnat-Villemonais. On y démontre notamment une propriété de mélange, l'existence du Q-processus et d'une distribution quasi-ergodique pour certains comportement de frontières mobiles