On the degree of ultrametricity

Using the notion of the subdominant ultrametric, the degree of ultrametricity D of a given metric space (e.g. phase space) is introduced. A simple and efficient method for the calculation of D is outlined. D is shown to provide a simple quantitative measure of the deviation from exact ultrametricity. Explicit examples are used to illustrate this notion which is argued to be of some interest in statistical-mechanical models and combinatorial optimization problems.La notion de degré d'ultramétricité D d'un espace métrique donné est introduite à partir de l'ultramétrique sous-dominante. On décrit une procédure simple et efficace pour le calcul de D. On montre que D fournit une mesure quantitative simple de la déviation par rapport à l'ultramétricité exacte. Cette notion est illustrée pour des exemples explicites et nous suggérons son intérêt dans les modèles de mécanique statistique ainsi que les problèmes d'optimisation combinatoire