Construction of average lattices for quasiperiodic structures by the section method

The construction of an average lattice with bounded modulation, for one dimensional quasiperiodic tilings, is considered from the viewpoint of the higher dimensional space R2. The 1D quasiperiodic tilings are : a) the canonical 1D tiling obtained e.g., by the cut and project method, b) tilings generated by a circle map algorithm, for particular values of the parameters defining the model. In this last case, the construction bridges a gap between the cut and project, or section, methods, and the circle map model, and provides an alternative proof of the quasiperiodic ordering : we build suitable 2D periodic tilings yielding the quasiperiodic ones by section. This geometrical approach gives also an intuitive image of the mechanism of the disappearance of the average latice, and of the quasiperiodic ordering, for generic values of the parameters of the model. The considerations given here may serve as a basis for the construction of average lattices with bounded modulation, if they exist, of higher dimensional tilings.La construction d'un réseau moyen avec une modulation bornée pour des pavages quasipériodiques unidimensionnels est considérée du point de vue de l'espace de dimension supérieure R2. Les pavages quasipériodiques sont: a) le pavage canonique 1D obtenu par exemple par la méthode de coupe et projection, b) des pavages engendrés par un algorithme du cercle pour des valeurs particulières des paramètres définissant le modèle. Dans ce dernier cas, la construction comble un vide entre la méthode de coupe et projection ou de section et le modèle de l'algorithme du cercle et apporte une autre preuve de l'ordre quasipériodique : nous construisons des pavages 2D périodiques appropriés donnant les pavages 1D quasipériodiques par section. Cette approche géométrique donne aussi une image intuitive du mécanisme de la disparition du réseau moyen et de l'ordre quasipériodique pour des valeurs génériques des paramètres du modèle. Les considérations données ici peuvent servir de base à la construction de réseaux moyens avec modulation bornée, s'ils existent, pour des pavages de dimensions supérieures