Spectrum of 1D quasicrystals near the periodic chain

A tight binding model on the general 1D quasiperiodic chain is studied in the framework of perturbation theory, near the corresponding periodic chain, using a new set of coordinates. The main gaps are well described, whereas the very small ones are correctly given, only for a very small perturbation. For a given irrational number, the energies where the gaps appear in the periodic chain spectrum, are exactly derived. Moreover, a labelling for these gaps which orders them according to their decreasing width is naturally introduced, and an approached integrated density of states is explicitely written. As an application of this perturbative derivation, we give the first order expansion of δ the exponant which describes the vanishing of the total band width B of an approximant, when its size increases : B ∼ 1/n δ. The first order expression for δ does not depend on the considered quasiperiodic chain.Nous étudions en perturbation un modèle de liaison forte sur une chaîne quasipériodique, au voisinage de la chaîne périodique, et cela au moyen d'une nouvelle numérotation des sites. Les principaux gaps sont bien décrits, alors que les très petits gaps ne sont bien rendus que pour une faible perturbation. Nous calculons exactement les énergies de la chaîne linéaire où naissent les gaps, et exhibons une numérotation naturelle qui les ordonne selon l'ordre décroissant. De plus, ce traitement permet de calculer de façon approchée la densité d'état électronique intégrée. Enfin, et en application de ces résultats, nous calculons au premier ordre, l'exposant δ qui décrit la façon dont la mesure du spectre tend vers zéro lorsque la taille de l'approximant tend vers l'infini. Au premier ordre, cet exposant ne dépend pas du quasicristal considéré