A generators and relations derivation of Khovanov homology of 2-strand braid links

Im ersten Teil die Dissertation reformieren wir die Murakami-Ohtsuki-Yamada-Summen-Beschreibung des Levels n Jonespolynomial einer orientierten link in Bezug auf einegeeignete geflochtene monoidale Kategorie, deren Morphismen Q[q,q^-1]-lineare Kombinationen orientierte dreiwertige planare Graphen sind und geben Sie eine entsprechende Beschreibung fu¨r das HOMFLY-PT-Polynom ein. Im zweiten Teil erweitern wir diese Konstruktion und bringen die KhovanovRozansky-Homologie eines orientierten Links in Form einer kombinatorisch definierten Kategorie zum Ausdruck, deren Morphismen ¨Aquivalenzklassen formaler Komplexe von (formalen direkten Summen verschobenen) orientierte planare Graphen sind. Kombinatorisches Arbeiten vermeidet viele der rechnerischen Schwierigkeiten, die mit den Matrixfaktorisierungsberechnungen der urspru¨nglichen Khovanov-Rozansky-Formulierung einhergehen: Sie verwendet systematisch kombinatorische Beziehungen, die durch diese Matrixfaktorisierungen befriedigt werden, um die Berechnung auf einer leicht zu handhabenden Ebene zu erleichtern. Durch Verwendung dieser Technik k¨onnen wir eine Berechnung des Levels n Khovanov-Rozansky-Invariante der zweistr¨angigen Geflechtverbindung mit k Kreuzungen fu¨r beliebiges n und k bereitstellen, um vorherige Ergebnisse und mutmaßliche Vorhersagen von Anokhina-Morozov zu best¨atigen und zu erweitern. Carqueville-Murfet, Dolotin- Morozov, GukovIqbal-Kozcaz-Vafa und Rasmussen.In the first part of the Thesis, we reformulate the Murakami-OhtsukiYamada state-sum description of the level n Jones polynomial of an oriented link in terms of a suitable braided monoidal category whose morphisms are Q[q,q^-1]-linear combinations of oriented trivalent planar graphs, and give a corresponding description for the HOMFLY-PT polynomial. In the second part, we extend this construction and express the KhovanovRozansky homology of an oriented link in terms of a combinatorially defined category whose morphisms are equivalence classes of formal complexes of (formal direct sums of shifted) oriented plane graphs. By working combinatorially, one avoids many of the computational difficulties involved in the matrix factorization computations of the original Khovanov-Rozansky formulation: one systematically uses combinatorial relations satisfied by these matrix factorizations to simplify the computation at a level that is easily handled. By using this technique, we are able to provide a computation of the level n Khovanov-Rozansky invariant of the 2-strand braid link with k crossings, for arbitrary n and k, confirming and extending previous results and conjectural predictions by Anokhina-Morozov, Carqueville-Murfet, Dolotin-Morozov, Gukov-Iqbal-Kozcaz-Vafa, and Rasmussen